Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция№5

             Коммутативные группы с конечным числом образующих.

                         Часть первая: общая теория

Определение
Элементы [pic] коммутативной группы G называются ее системой образующих
(с.о.) , если каждый элемент[pic] можно записать в виде: [pic], где  [pic].
Группа, имеющая систему образующих, называется группой с конечным числом
образующих (г.к.о.)
Примеры.
1. Циклическая группа - группа с одной образующей.
2. Группа  [pic] всех n-мерных векторов с целочисленными координатами с
  операцией сложения имеет стандартную с.о. e=[pic] , где [pic]- вектор, у
  которого единственная ненулевая координата - i ая , равная 1.
Отметим, что [pic]Z . Будем также считать, что  [pic] - тривиальная группа.
3. Система {3,7} - является с.о. группы Z . Это вытекает из тождества: m=
  m*7+(-2m)*3 .
4. Всякая конечная абелева группа является г.к.о. так как за систему
  образующих можно взять, например, все элементы этой группы.
5. Группа Q рациональных чисел с операцией сложения не является г.к.о.  В
  самом деле, если [pic] - любые рациональные числа, записанные в виде
  отношения целых, то,  приводя к общему знаменателю сумму [pic], получим
  дробь, знаменатель которой не превосходит N= [pic]. Поэтому любая
  несократимая дробь с большим чем N знаменателем не является целочисленной
  линейной комбинацией данных рациональных чисел и они не образуют с.о.
Пусть G- группа с с.о. [pic]. Определим отображение [pic] формулой: [pic].
Очевидно, что [pic]  является сюръективным гомоморфизмом. Будем
называть[pic] стандартным гомоморфизмом для группы G c заданной с.о.. Он
отображает стандартную с.о. группы [pic] в заданную с.о. группы G. Из
существования стандартного гомоморфизма вытекает, что любая г.к.о. является
гомоморфным образом группы [pic] . Отметим еще, что если [pic]-
сюръективный гомоморфизм, то [pic]- с.о. группы K. Поэтому гомоморфный
образ г.к.о. является г.к.о.


Теорема о подгруппах г.к.о.
Всякая подгруппа H группы G с с.о. [pic] допускает конечную с.о. [pic],
причем [pic].
Доказательство.
Проведем индукцию по числу n образующих группы G . При n=1 G -циклическая
группа и для нее теорема верна, так как всякая ее подгруппа циклична. Пусть
для групп с (n-1) образующей теорема уже доказана; рассмотрим случай
сформулированный в теореме. Определим множество
[pic] . Легко проверить, что [pic]- подгруппа и потому P=kZ, где [pic].
Если k>0 выберем [pic] так, чтобы [pic]. Пусть [pic]- подмножество G,
состоящее из всевозможных линейных комбинаций [pic], где все  [pic].
Очевидно, что [pic]- подгруппа G с (n-1) образующей. Пусть также [pic]-
подгруппа [pic]. По предположению индукции [pic] допускает конечную с.о.
[pic], где [pic]. Если k=0, [pic]и теорема доказана. Предположим, что k>0.
Докажем тогда, что [pic]- с.о. подгруппы H. Пусть [pic]- произвольный
элемент. Тогда h= [pic]. Значит,
[pic]=[pic]и потому[pic]=[pic], откуда [pic] и теорема полностью доказана.
Итак, любая подгруппа г.к.о. является г.к.о. Укажем удобный способ задания
группы G с заданной с.о. [pic] с помощью матриц. Рассмотрим стандартный
гомоморфизм [pic]. Тогда H=Ker[pic]- подгруппа г.к.о. [pic]и потому имеет
конечную с.о. [pic]. Поскольку  [pic], можно записать: [pic], где
[pic][pic]. Матрица [pic][pic] с этими элементами полностью описывает
подгруппу H, а, следовательно, и группу G.
Примеры.
1. Пусть G=[pic]- циклическая группа с образующей g. Стандартный
   гомоморфизм [pic] имеет ядро nZ с образующей n. Здесь [pic]- (1[pic]1)
   матрица (n).
2. Пусть G=[pic]- мультипликативная группа вычетов по модулю 20. Эта группа
   состоит из 8 элементов: {1, 3,7,9,11,13,17,19} ( для упрощения записи мы
   не ставим черту над соответствующим вычетом). Циклическая подгруппа Z(3)
   как нетрудно видеть состоит из элементов 1, 3, 9, 7; циклическая группа
   Z(13) - из элементов 1, 13, 9,17. Поскольку 3*13=19 и [pic]*13=11, мы
   видим, что каждый элемент из [pic] может быть записан в виде [pic], то
   есть {3, 13} -с.о. группы G. Стандартный гомоморфизм
[pic] действует по формуле: [pic]. Ядро этого гомоморфизма  состоит из
таких двумерных векторов [pic], для которых  [pic]=1, то есть элементы
[pic]и [pic]должны быть взаимно обратными. Это возможно только когда оба
вычета равны 1 или 9, что соответствует значениям n=4p; m=4q или n=4p+2;
m=4q+2 ([pic]). Отсюда видно, что в качестве образующих [pic] можно выбрать
элементы [pic]и  [pic]. Поэтому получаем: [pic].
Замечание.
Построение матрицы [pic] для данной г.к.о. G зависит от выбора с.о. группы
G и подгруппы [pic]. Существует стандартный способ изменения с.о. -
выполнение элементарных преобразований (э.п.). Как известно, имеются 3 типа
элементарных преобразований: перестановка образующих, умножение одной из
образующих на число p и прибавление к одной образующей кратного другой. Для
того, чтобы при этих преобразованиях снова получалась с.о. необходима их
обратимость. Поэтому число p может быть равно только 1 или -1. Выполнение
э.п. с.о. G приводит к преобразованиям строк матрицы [pic], а э.п. с.о. H
приводят к преобразованиям столбцов той же матрицы. Назовем две
целочисленные матрицы эквивалентными, если одна из них получается из другой
э.п. строк и столбцов . Из сказанного выше вытекает, что эквивалентные
матрицы отвечают одной и той же группе. Отметим еще, что если B[pic]- любая
, то взяв в качестве [pic]-множество всевозможных целочисленных комбинаций
столбцов B и образовав факторгруппу G= [pic] мы придем к группе, для
которой [pic]=B. Таким образом, любая целочисленная матрица определяет
некоторую г.к.о.