Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция№7

             Коммутативные группы с конечным числом образующих.

                  Часть третья: следствия из классификации.



Теорема о подгруппах группы [pic]
Всякая подгруппа группы [pic] изоморфна [pic], причем [pic].
Доказательство.
Мы знаем, что подгруппа G группы[pic]имеет не более чем n образующих и
потому для нее можно записать первое каноническое разложение: [pic], где
(m+k) [pic]n. Поскольку все элементы [pic] имеют бесконечный порядок, G не
содержит конечных циклических подгрупп. Таким образом, k=0 и теорема
доказана.
Теорема о подгруппах конечной коммутативной группы.
Для всякого числа m делящего порядок n конечной коммутативной группы G  в
ней найдется подгруппа H порядка m.
Доказательство.
Используем разложение G в прямую сумму циклических подгрупп : [pic] Имеем :
n=[pic]. Поскольку  m делит n, можно записать: m=[pic], где каждое [pic]
делит [pic]. Пусть [pic]. Теперь достаточно положить: [pic].
Замечание.
Вообще говоря, подгруппа H не единственна (в отличие от случая подгруппы
циклической группы ). Например, если [pic], где число p простое, то каждый
неединичный элемент [pic] имеет порядок p и значит входит в циклическую
подгруппу порядка p.  Две такие подгруппы либо совпадают, либо пересекаются
только по нейтральному элементу. Значит G содержит в точности [pic]
подгрупп порядка p.
Теорема о порядках элементов конечных коммутативных групп
Пусть G- конечная циклическая группа и [pic]- ее первое каноническое
разложение, так что каждое [pic]делит [pic]. Тогда множество порядков всех
элементов G совпадает с множеством всевозможных делителей числа [pic].
Доказательство.
Поскольку все [pic]являются делителями [pic],  [pic]=0 и потому [pic]G=0. С
другой стороны, если q делит [pic], то  [pic](а значит и G !) содержит
элемент g  порядка  q.
Следствие.
Если число m взаимно просто с порядком n конечной коммутативной группы G,
то mG=G.
В самом деле, в этом случае для каждого прямого слагаемого [pic]группы G
m[pic]=[pic].
Второе каноническое разложение
Напомним, что если числа p и q взаимно просты, то [pic]. Поскольку любое
натуральное n можно разложить в произведение простых множителей, [pic], где
все простые [pic]попарно различны, имеем: [pic] . Используя разложение
конечной абелевой группы в сумму циклических подгрупп, получаем отсюда, что
всякая такая группа может быть представлена в виде суммы таких циклических
подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Объединим
слагаемые, относящиеся к одному простому числу p в подгруппу [pic].
Определение.
Подгруппа  [pic]называется  p-компонентой  группы G.  Группа G, порядок
которой равен степени простого числа p называется p-примарной.
Итак, всякая конечная абелева группа G раскладывается в прямую сумму p-
компонент: [pic], где p-простое число, делящее порядок G, а всякая p-
компонента, в свою очередь, в прямую сумму примарных циклических подгрупп:
[pic]. Прямая сумма, стоящая в правой части этого равенства обозначается
[pic], а выражение, стоящее в показателе степени p,- типом компоненты
[pic]. Порядок [pic]равен [pic], где [pic]- количество 1 в показателе,
[pic]- количество 2 и т.д. Таким образом компонента [pic] является
примарной группой. Только что построенное разложение конечной абелевой
группы называется вторым каноническим разложением.
Пример.
Пусть [pic]. Поскольку 12=[pic],    72=[pic],        имеем: [pic].
Замечание.
Если [pic] - две подгруппы примарной циклической группы и s[pic]t, то
[pic]. Отсюда вытекает, что примарная циклическая группа не может быть
разложена в прямую сумму своих подгрупп. Таким образом, второе каноническое
разложение конечной абелевой группы - это представление ее в виде суммы
наименьших (далее не разложимых) слагаемых. Для сравнения заметим, что
первое каноническое разложение - это представление группы в виде суммы
наибольших циклических слагаемых.

Теорема единственности для разложения в сумму компонент.
Компоненты [pic] конечной коммутативной группы G определены однозначно.
Точнее, пусть [pic]- разложение порядка n группы G в произведение простых
чисел, [pic]. Тогда [pic].
Доказательство.
Из разложения [pic] мы видим, что [pic]=0. Если же (p,q)=1, то q [pic] =
[pic]. Поскольку при j[pic]i  [pic]делится на[pic], а [pic]=1, отсюда и
следует утверждение теоремы.
Теорема единственности определения типа примарной группы.
Тип примарной группы определен однозначно. Точнее, если p-компонента
[pic]группы G представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп:
[pic]=[pic],      то [pic].
Доказательство.
Пусть G=[pic]- разложение G в сумму p-компоненты и остальных компонент.
Таким образом, (ord([pic]),p)=1 и потому [pic][pic]=[pic]. С другой
стороны, [pic][pic]=[pic] при m>k (равно 0 в противном случае). Поэтому
ord([pic][pic])=[pic]. Обозначая ord([pic])=N, получаем:
ord([pic]G)=N[pic]. Отсюда: ord([pic]G)/ ord([pic]G)= [pic]откуда и следует
утверждение теоремы.
Замечание.
Обращаем внимание на существенное отличие в формулировке свойства
единственности в двух последних теоремах. В первой из них утверждается
единственность каждой из подгрупп [pic] , тогда как во второй подгруппы,
составляющие прямые слагаемые, определены, вообще говоря, неоднозначно, но
их количество и порядок каждой из них  находятся уже единственным образом.
Количество неизоморфных конечных абелевых групп данного порядка.
Обозначим через ab(n) количество попарно неизоморфных абелевых групп
порядка n. Ввиду единственности разложения такой группы в сумму примарных
компонент, разложению  [pic] в произведение простых отвечает равенство
ab(n)=ab([pic])ab([pic])...ab([pic]). Если p- любое простое число, и G-
группа порядка [pic]и типа (1,1,...1,2,2,......k) то
m=1+1+...+1+2+2+...+...+k. Каждому представлению числа m в виде суммы
положительных целых слагаемых (причем порядок слагаемых не играет роли)
отвечает определенный тип абелевой группы порядка  [pic]. Такое
представление числа m называется его разбиением и обозначается [pic]. Таким
образом, поскольку тип группы определяется однозначно, ab([pic])=[pic].
Примеры.
Составим прежде всего следующую табличку разбиений:
|m |                                               разбиения|[pic|
|  |                                                        |]   |
|1 |1                                                       |1   |
|2 |2;1+1                                                   |2   |
|3 |3;2+1;1+1+1                                             |3   |
|4 |4;3+1;2+2;2+1+1;1+1+1+1                                 |5   |
|5 |5;4+1;3+2;3+1+1;2+2+1;2+1+1+1;1+1+1+1+1                 |7   |
|6 |6;5+1;4+2;4+1+1;3+3;3+2+1;3+1+1+1;2+2+2;2+2+1+1;2+1+1+1+|11  |
|  |1;1+1+1+1+1+1                                           |    |

ab(16)= [pic]=5. Соответствующие абелевы группы порядка 16 следующие:
[pic], [pic], [pic], [pic],[pic]. Первые канонические разложения для них
имеют вид: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
ab(72)=ab(8)*ab(9)= [pic]=6. Соответствующие группы суть: [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic], [pic]. Первые канонические разложения для них имеют
вид: [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
В заключение приведем табличку количества Г(n) попарно неизоморфных групп и
ab(n) абелевых групп данного порядка n.
|n    |2  |3  |4  |5  |6  |7  |8  |9  |10 |11 |12 |13 |14 |15 |
|Г(n) |1  |1  |2  |1  |2  |1  |5  |2  |2  |1  |5  |1  |2  |1  |
|ab(n)|1  |1  |2  |1  |1  |1  |3  |2  |1  |1  |2  |1  |1  |1  |