Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция№11

                Характеристика поля; автоморфизм Фробениуса.

           Пусть k - произвольное поле, [pic] его единица. Рассмотрим
отображение [pic], действующее по формуле t(n) = ne. Это отображение
является гомоморфизмом колец. Пусть I [pic]Z его ядро. Возможны два случая:
1. I ={0}. В этом случае говорят, что характеристика поля k равна 0.
  Поскольку тогда при n [pic]0 элементы ne обратимы, t можно продолжить до
  инъективного отображения T: Q [pic]k, положив: T(n/m) = ne* [pic]. Значит
  k содержит подполе Im T [pic].
2. I[pic]{0}. Тогда I = pZ и k содержит Im T[pic] в качестве подкольца. В
  этом случае говорят, что характеристика поля k равна p. Заметим, что
  число p обязательно простое, так как в противном случае Z/pZ содержит
  делители нуля.
Итак, если char(k) =0, то k содержит подполе, изоморфное полю рациональных
чисел Q, а если char(k) =p, то k содержит подполе, изоморфное конечному
полю GF(p).
Примеры.
1. Поля Q, R, C - очевидно имеют характеристику 0.
2. Поле, содержащее конечное число элементов, очевидно имеет положительную
  характеристику. Рассмотрим следующий пример. Пусть множество X содержит 4
  элемента: 0, 1, a, b, которые складываются и перемножаются в соответствие
  со следующими таблицами: [pic]                  [pic]
                     Нетрудно проверить, что относительно введенных
  операций X является полем, причем 0 - нейтральный элемент для операции
  сложения, а 1 - нейтральный элемент для умножения. Поскольку [pic] 2*x =
  x + x = 0, поле X имеет характеристику 2. Отметим, что (X,+) [pic], а
  [pic]. Поскольку поле X содержит 4 элемента, в наших обозначениях это -
  GF(4).
3. Приведем пример бесконечного поля положительной характеристики. Пусть k
  - произвольное поле. Построим новое поле k(x) - поле рациональных функций
  над k. По определению, элементами этого поля, то есть рациональными
  функциями, являются отношения многочленов ( то есть дроби) r = p/q, где
  p,q [pic]k[x], причем q [pic]0. Считается, что [pic], если[pic]. Отсюда
  следует, что  [pic]: (dp)/(dq) = p/q так что дроби можно приводить к
  общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + u/v =
  (pv)/(qv) + (qu)/(qv) =(pv+qu)/qv. Умножение дробей определяется
  естественным образом: (p/q)*(u/v) = (pu)/(qv). Отметим, что k[x]
  [pic]k(x) - каждый многочлен p отождествляется с дробью p/1. Ясно, что
  эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве k взять конечное
  поле GF(q) характеристики p, то мы придем к бесконечному полю GF(q)(x),
  которое также имеет характеристику p.
Продолжение алгебраических тождеств в произвольные поля.
Любое тождество A = B, где A и B целые алгебраические выражения ( то есть
построенные из переменных с использованием только операций сложения,
вычитания и умножения ) с целыми коэффициентами может быть перенесено в
любое поле k, путем замены каждого целого z [pic] Z на соответствующий
элемент t(z) [pic] k (см. начало лекции). В случае поля характеристики 0
такое перенесение возможно и для выражений с рациональными коэффициентами,
так как t продолжается до отображения Q в k. Например, формула Тейлора для
многочленов: [pic] имеет смысл в любом поле характеристики 0, но в поле
положительной характеристики некоторые из факториалов, стоящих в
знаменателе, могут обратиться в 0 и в таком виде формула не имеет смысла.
Однако, если переписать ее в виде: [pic]
она будет иметь смысл и в поле характеристики q, если каждое целое число s,
входящее в нее, заменить на остаток  [pic] от деления на q.
Формула бинома Ньютона: [pic] имеет смысл в любом поле, поскольку
биномиальные коэффициенты [pic] - целые числа.
Лемма.
Если p простое число, то p |[pic] при s=1,2,...,p-1.
Действительно, [pic]=[pic] - целое число, так что каждый множитель
знаменателя сокращается с некоторым множителем числителя. Так как s  0.
Следствие.
В поле k характеристики p имеет место формула: [pic]. В самом деле, все
промежуточные слагаемые в формуле бинома входят с нулевыми коэффициентами:
[pic]=0.
Гомоморфизм Фробениуса.
Пусть k - поле характеристики p. Рассмотрим отображение [pic][pic],
действующее по формуле: Ф(a) = [pic]. Только что мы проверили, что Ф(a+b) =
Ф(a)+Ф(b). Кроме того, очевидно, что Ф(ab) = Ф(a)Ф(b). Это означает, что Ф
- гомоморфизм поля k в себя. Поскольку  [pic]= 0 [pic]a = 0, Ф инъективен.
Если поле k конечно отсюда следует, что Ф взаимно однозначно, то есть
является изоморфизмом поля k с самим собой (автоморфизмом) . Ф называется
автоморфизмом Фробениуса. Если k = GF(p), то поскольку  [pic] - циклическая
группа порядка ( p-1), для всякого [pic] [pic], то есть Ф(а) = а.
Возвращаясь к случаю произвольного поля k характеристики p заметим, что так
как уравнение [pic] в поле k имеет не более p корней, этими корнями будут в
точности все элементы [pic], так что для элементов [pic] и не входящих в
GF(p),  Ф(а) [pic]а. Например, для рассмотренного выше поля GF(4)
характеристики 2 (см. пример 2), имеем:
Ф(0) = 0 ; Ф(1) = 1 ; Ф(а) = b ; Ф(b) = а.
Если q любой многочлен над полем GF(p), k - некоторое поле характеристики p
и  [pic], то[pic]Ф([pic])) = Ф([pic]) , а потому, если [pic] - корень q, то
Ф([pic]) также является его корнем, причем отличным от исходного, если
[pic]. (Отметим очевидную аналогию с комплексным корнем многочлена с
вещественными коэффициентами; здесь роль автоморфизма Ф играет комплексное
сопряжение).
Пример.
Пусть q =  [pic] - многочлен над полем GF(2), [pic] =а[pic]. Используя
таблицы примера 3, легко проверить, что [pic]. Значит, Ф([pic]) = [pic] = b
также будет корнем этого многочлена, причем не совпадающим с a. Это можно
проверить «в лоб» или использовать формулы Виета:
a + b = 1 и ab = 1.
Замечание.
В случае бесконечного поля положительной характеристики гомоморфизм Ф может
не быть сюръективным. Например, для поля GF(p)(x), построенного в примере
3, гомоморфизм Ф, очевидно, действует по формуле: Ф(r(x)) = r([pic]) и
потому элемент r = x  не входит в его образ.