Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция 3

                         Изоморфизмы и гомоморфизмы

Определение
Пусть [pic] и [pic] две группы и [pic] некоторое отображение. [pic]
называется изоморфизмом, а группы [pic] и [pic] - изоморфными
(однотипными), если
1. [pic] - взаимно однозначно и
2. [pic].
Изоморфизм групп [pic] и [pic] обозначается символом [pic].
Если выполнено только условие 2. , то отображение [pic] называется
гомоморфизмом (подобием).
Примеры
1. Пусть группы [pic] и [pic] заданы таблицами умножения:
 [pic]         [pic]
и
[pic]       [pic]
Отображение [pic] является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто
меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается
неизменной).
2. Пусть [pic]=Z (группа целых чисел с операцией сложения), [pic] - группа
из предыдущего примера. Положим: [pic](2n)=p; [pic](2n+1)=q.
Тогда [pic] - гомоморфизм.
3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа.
Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где
[pic]. Определим отображение [pic] формулой: [pic](x)=x*H.  Поскольку
смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение
[pic] является гомоморфизмом. Оно называется естественным гомоморфизмом
группы на факторгруппу.
Простейшие свойства гомоморфизмов групп.
Пусть [pic] - гомоморфизм. Тогда:
1. [pic]
2. [pic].
3. Если [pic] -подгруппа, то [pic] -подгруппа в [pic].
4. Если [pic] - (нормальная) подгруппа, то [pic] - (нормальная) подгруппа в
  [pic].
Доказательство
1. Пусть[pic] - любой элемент. Тогда [pic] и по признаку нейтрального
  элемента [pic].
2. Имеем: [pic]. По признаку обратного элемента получаем: [pic].
3. Применим признак подгруппы: [pic]
4. Пусть [pic] - подгруппа. [pic]- элементы из [pic], то есть  [pic]и [pic]
  входят в К. Тогда [pic] и потому[pic]. Значит, [pic] - подгруппа [pic].
  Пусть теперь К - нормальная подгруппа и [pic] - любой элемент. Тогда
  [pic] и значит[pic]. Аналогично, [pic].  Поскольку [pic], то и [pic], то
  есть подгруппа [pic] нормальна в [pic].
Замечание
Образ нормальной подгруппы не всегда  нормален.
Из доказанной теоремы следует  в частности, что для всякого гомоморфизма
[pic]  [pic] подгруппа в [pic]. Она называется образом гомоморфизма [pic] и
обозначается Im [pic]. Точно также, [pic] - подгруппа в [pic], причем
нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе.
Она называется ядром гомоморфизма [pic] и обозначается Ker [pic].
Инъективные и сюръективные гомоморфизмы.
Напомним, что отображение[pic] называется инъективным, если оно переводит
различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его
образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на
подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм [pic]
cюръективен тогда и только тогда, когда Im [pic].
Критерий инъективности гомоморфизма групп
Гомоморфизм групп [pic] инъективен тогда и только тогда, когда Ker [pic]
={[pic]}.
Доказательство
Поскольку [pic], [pic] и значит, если [pic] инъективно в ядре не может быть
других элементов и таким образом Ker [pic] ={e}. Обратно, пусть ядро [pic]
состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента [pic],
что [pic]. Тогда [pic]  и значит [pic]  и потому равно [pic] . Отсюда
получаем x=y и [pic] инъективно.
Следствие
Если Ker [pic]= {e}, то [pic] изоморфно отображает [pic] на подгруппу Im
[pic].
Теорема Кэли
Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из
n элементов.
Доказательство
Пусть G={[pic]}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.  В i-ой
строке этой таблицы выписаны элементы [pic], которые только порядком
следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим
полученную перестановку [pic]. Определим отображение [pic] по формуле
[pic]. Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает
композиция перестановок, то есть [pic] -гомоморфизм.  Если[pic], то, в
частности, [pic] и значит[pic]. Таким образом, Ker[pic] тривиально и[pic]
определяет изоморфизм между G и подгруппой Im [pic] в [pic].
Теорема о гомоморфизме для групп
Пусть [pic] сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа [pic] изоморфна
[pic]. Если эти изоморфные группы отождествить, то [pic] превращается в
естественный гомоморфизм [pic].
Доказательство
Обозначим H=ker [pic]. Следующим образом определим отображение
[pic]. Пусть С произвольный элемент [pic] то есть некоторый смежный класс
группы [pic] по ее подгруппе H. Возьмем любой [pic].  Тогда [pic]  не
зависит от выбора элемента x. В самом деле, если [pic] любой другой
элемент, то y=x*h, где [pic] и значит, [pic]. Положим: [pic]. Используя
правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=
[pic] = Ф(x*H)[pic]Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм.
Если [pic] любой элемент, то поскольку [pic] сюръективно, найдется такой
[pic] , что [pic]. Но тогда Ф(x*H)=[pic]. Значит Ф - сюръективно. Если
Ф(x*H)= [pic], то ф(x)= [pic], [pic] и потому x*H=H= [pic]. Это доказывает,
что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является
изоморфизмом. Поскольку[pic](x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать
изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить[pic] и G/H),
отображение [pic] совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в
x*H.
Следствие
Всякий гомоморфизм [pic]  определяет изоморфизм между факторгруппой [pic] и
подгруппой Im [pic].
Примеры
1. Пусть [pic]={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм [pic]),
  сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1).
  Тогда Ker [pic] - подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1
  [pic] сюръективно. По теореме о гомоморфизме [pic] -нормальная подгруппа
  в [pic] и [pic].
2. Отображение [pic](А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы
  GL(n,R) всех невырожденных матриц порядка n  в группу [pic] не равных
  нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker [pic]= SL(n,R) -подгруппа
  матриц с определителем 1. Значит  эта подгруппа нормальна и GL(n,R)
  /SL(n,R) [pic].