Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция№9

                        Кольцо многочленов над полем.

           Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов
над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам
кольца целых чисел Z .
I. Делимость многочленов.
Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления «углом»
использует только  арифметические действия над коэффициентами и потому
применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для  двух
ненулевых многочленов p,s[pic]k[x] построить такие многочлены  q (неполное
частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )0, то это противоречит неприводимости
p, а если deg(s )=0, то d | q[pic]p | q.
2. Если p | [pic] и p неприводим, то либо p | [pic] либо p | [pic].
Действительно, в противном случае НОД(p, [pic]) = НОД(p, [pic]) =1 и потому
по основной теореме теории делимости  [pic]; [pic], откуда: [pic] и значит,
[pic],      то есть     НОД(p, [pic])=1 и, следовательно, deg (p )=0.

III. Корни многочленов. Производная и кратные корни.
      Пусть p = [pic] некоторый многочлен над k и [pic]. Элемент поля k,
равный [pic], называется значением многочлена p в точке a и обозначается
p(a).  Соответствие [pic] является гомоморфизмом [pic] Ядро этого
гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a
является их корнем. Поскольку ядро I - идеал, содержащий (x-a) и не
совпадающий с k[x] (x -a +[pic][pic]),  а каждый идеал в k[x] - главный, то
 I =(x-a).  Мы приходим таким образом к теореме Безу : элемент [pic] будет
корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p.  Отсюда
непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не
имеет корней.
Если [pic] | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие
производной многочлена p. По определению это многочлен [pic]. Имеют место
обычные правила вычисления производной: [pic]; [pic]. Отсюда следует, что
[pic] и потому наличие у  многочлена корня a кратности не ниже n влечет
наличие  у его производной того же корня кратности не ниже (n-1). В
частности, если p(a) = 0, но [pic], то корень a - простой (то есть не
кратный).
Если [pic] | p, но [pic] не делит p, то число n называется кратностью корня
a . Пусть [pic]- множество всех корней многочлена p с указанными
кратностями [pic]. Поскольку      при        a[pic]b
НОД([pic],[pic]) =1, многочлен p делится на  [pic] и потому  deg(p)
[pic][pic]. Итак, многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их
кратности.