Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция 12

                              Расширения полей.
                   Присоединение элементов большего поля.

             Если  k - подполе поля K, то говорят также, что K - расширение
поля k. Отметим, что при расширении сохраняется характеристика поля. В
самом деле, поле k характеристики 0 содержит подполе изоморфное Q - полю
рациональных чисел, а поле k характеристики p>0 - подполе изоморфное полю
GF(p) - вычетов по модулю p. По определению расширения большее поле K
содержит те же подполя и, следовательно, имеет ту же характеристику.
             Напомним, что векторным пространством над полем k называется
такое множество X (векторов), для которого определены операции сложения
векторов и умножения вектора на элемент поля (скаляр) со следующими
свойствами:
1. Относительно сложения векторы образуют абелеву группу.
2. a(U+V) = aU+aV
3. (a+b)U = aU+bU
4. a(bU) = (ab)U
5. 1U =U.
Очевидно, что поле K можно рассматривать как векторное пространство над k:
сложение векторов интепретируется как сложение элементов поля K, а
умножение на скаляр как умножение в том же поле (ведь каждый скаляр из k в
то же время является элементом K). Свойства 1 - 5 вытекают из определения
поля. Таким образом, все известные нам результаты, относящиеся к векторным
пространствам, применимы к случаю расширения полей. В частности, можно
говорить о размерности K над k. Это число называется степенью расширения  и
обозначается [K:k] . Если степень расширения конечна, то и само расширение
называется конечным.
Примеры.
1. Поле С комплексных чисел является расширением поля R вещественных чисел.
  Так как каждое комплексное число однозначно записывается в виде a+bi, то
  числа 1 и i образуют базис С над R и значит [C:R] = 2.
2. Рассмотрим поле R как расширение поля рациональных чисел Q. Покажем, что
  степень расширения бесконечна. Для этого достаточно для всякого n указать
  линейно независимую над Q систему [pic] вещественных чисел. Положим
  [pic], [pic], [pic],..., [pic]. Пусть для некоторых рациональных [pic]
  выполнено равенство: [pic]=0. Тогда многочлен с рациональными
  коэффициентами q = [pic] имеет корень x= [pic].Однако тот же корень имеет
  неприводимый многочлен [pic], который, следовательно, делит многочлен q.
  Это возможно только в том случае, когда многочлен q нулевой, чем и
  доказано наше утверждение.
Теорема о степени составного расширения.
Пусть поле F является расширением поля k, а K - расширение F. Тогда степень
расширения [K:k] находится по формуле: [K:k] = [K:F] [F:k].
Доказательство.
Пусть [pic] - базис K над F, а [pic] - базис F над k.  Для всякого U [pic]K
имеем: U = [pic], где [pic]. Но, [pic], где [pic] [pic]. Значит, всякий
элемент поля K записывается в виде линейной комбинации над k элементов
[pic]в количестве nm штук. Остается проверить их линейную независимость.
Если
[pic]=0, то поскольку[pic] линейно независимы над F, для всякого
i= 1,...,n имеем[pic]= 0. Но[pic] линейно независимы над k и потому
все[pic].
Расширение посредством присоединения элементов.
Пусть дано поле k и элементы[pic], принадлежащие некоторому большему полю
K. Наименьшее (по включению) подполе  поля K, содержащее поле k и все
элементы [pic] обозначается k([pic]) и называется расширением k посредством
присоединения элементов[pic]. Если n=1, то расширение называется простым ,
а соответствующий элемент U называется порождающим элементом простого
расширения.
Примеры.
1. Если все[pic], то k([pic])=k.
2. Если k=R, U=a+bi[pic]C, причем b[pic]0, то простое расширение R(U)
  совпадает с С. В самом деле, R(U) содержит U и все вещественные числа. Но
  тогда
    i = 1/b(U-a) [pic]R(U), а значит и любое комплексное число
p+qi[pic]R(U).
3. Поле Q([pic]) содержит множество X всех вещественных чисел, которые
можно записать  в виде a+b[pic], где a,b[pic]Q.
Проверим, что X - поле и тем самым установим, что Q([pic]) =X. Напомним,
что подмножество T поля k будет полем тогда и только тогда, когда
a) T содержит 0 и 1.
b) Вместе с любыми двумя элементами t и s T содержит их разность t-s.
c) Вместе с любыми двумя элементами t и s [pic]0 T содержит их частное t/s.
Условия a) и b) для X очевидно выполнены. Чтобы проверить c)
надо”уничтожить иррациональность” в знаменателе дроби
(a+b[pic])/(c+d[pic]). Из элементарной алгебры известно, что для этого
достаточно числитель и знаменатель умножить на c-d[pic]. Итак,
[Q([pic]):Q]=2 и базис составляют элементы 1 и[pic].
4. Поле Q([pic]) содержит[pic]. Но тогда оно должно содержать также и[pic],
а значит и все числа вида a+b[pic]+c[pic], где a,b,c[pic]Q. Отметим, что
запись числа в такой форме однозначна поскольку мы уже убедились в линейной
независимости чисел 1, [pic], [pic]над Q. Чтобы доказать, что все элементы
поля уже построены, надо как и в предыдущем примере уничтожить
иррациональность в знаменателе дроби                    (a+b[pic]+c[pic])/(
d+e[pic]+f[pic]). Это можно проделать, используя тождество: [pic]-3xyz=
(x+y+z)( [pic] -xy-xz-yz)=(x+y+z)S. Достаточно вэять x=d, y=e[pic],
z=f[pic] и домножить числитель и знаменатель на S. Следовательно, [Q([pic])
:Q]=3 и базис составляют элементы1, [pic], [pic].
Анализируя приведенные примеры, мы видим, что строение простого расширения
существенно зависит от алгебраической природы порождающего элемента.
В связи с этим дадим следующее определение. Пусть k[pic]K  и U[pic]K.
Элемент U называется алгебраическим над k, если он является корнем полинома
p[pic]k[x] положительной степени. В противном случае U называется
трансцендентным элементом.  Если p(U)=0 и p=qr, то либо q(U)=0, либо
r(U)=0, поэтому найдется такой неприводимый многочлен s[pic]k[x], что
s(U)=0. Если еще потребовать, чтобы s был унитарным, то он будет определен
однозначно. Это будет многочлен наимеьшей степени, имеющий U своим корнем
(минимальный многочлен алгебраического элемента U ). Степень минимального
многочлена называется степенью числа U над полем k.
Примеры.
1. Любое комплексное число z является корнем квадратного уравнения над R:
  [pic] =0. Таким образом все комплексные числа алгебраичны над R и степень
  их не превосходит 2.
2. [pic],[pic] - алгебраические элементы над Q.  Они являются корнями
  неприводимых уравнений[pic] -3=0 и[pic] -2=0 соответственно, так что их
  степени - 2 и 3.
3. Можно доказать(весьма непросто!), что числа[pic] и е трансцендентны над
  полем Q.
Строение простых алгебраических расширений.
Теорема.
Если U алгебраический над k элемент степени n, то [k(U):k]=n и в качестве
базиса можно выбрать элементы 1, U, [pic].
Доказательство.
Ясно, что U и все его степени входят в k(U). Пусть p[pic]k[x] - минимальный
многочлен элемента U. Тогда[pic] =[pic]. Умножая обе части этого равенства
на[pic], получаем, что при m[pic]n[pic] выражается над k в виде линейной
комбинации меньших степеней U. В то же время элементы 1, U,..., [pic]
линейно независимы над k, так как в противном случае U было бы корнем
уравнения степени меньше n, что невозможно. Остается проверить что
множество X={[pic] [pic]} является полем, для чего достаточно установить,
что элемент x=1/[pic] Положим: q=[pic]. Так как степень этого многочлена
меньше n, ОНД(p,q)=1. По основной теореме теории делимости для многочленов
можно подобрать такие многочлены s и t над полем k, что sq+tp=1. Но тогда
s(U)q(U)=1 и следовательно x=  s(U) [pic] k.
Пример.
Пусть k=Q, U=[pic]. Тогда[pic], откуда[pic] =24. Значит U алгебраическое
число, являющееся корнем уравнения p= [pic]+1=0. Решая это биквадратное
уравнение определим все его корни: x=[pic]. Если бы многочлен p был
приводим, он имел бы над Q делитель вида (x-a) или (x-a)(x-b) , где a,b
некоторые из указанных выше корней. Однако непосредственная проверка
показывает, что ни один из этих многочленов не имеет рациональных
коэффициентов. Поэтому степень числа U равна 4 и базис в расширении
составляют числа : 1, U=[pic],[pic] , [pic]. Вместо них в базис можно
включить 1, [pic],[pic], [pic]. Отсюда вытекает, что Q([pic])=Q([pic]) и
таким образом присоединение двух элементов[pic] и[pic] равносильно
присоединению единственного элементa[pic]. Можно доказать, что всякое
конечное расширение поля характеристики 0 является простым алгебраическим
расширением и таким образом для его построения достаточно к исходному полю
присоединить один единственный элемент.