Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция№6

             Коммутативные группы с конечным числом образующих.

                        Часть вторая: классификация.

Как было показано на предыдущей лекции, каждая г.к.о. G с n образующими
задается  (n [pic]m) матрицей [pic], причем эквивалентные матрицы
определяют одинаковые группы. Будем называть прямоугольную матрицу А
диагональной , если все ее элементы [pic]=0 при i [pic]j. Последовательно
перечисляя ее диагональные элементы, будем записывать такую матрицу в виде:
A=diag([pic]).
Теорема о приведении матрицы к диагональному виду.
Всякая целочисленная прямоугольная матрица А эквивалентна диагональной
матрице  diag([pic]), с положительными [pic], причем все числа  [pic]-
целые.
Доказательство.
Для нулевой матрицы теорема очевидно верна. Будем считать, что А[pic]0.
Выберем из множества ненулевых элементов А любой из наименьших по модулю и
назовем его главным элементом А. Абсолютная величина главного элемента
будет обозначаться  h(A). Таким образом для любого  ненулевого элемента
[pic]этой матрицы [pic].
Лемма
Существует матрица [pic]эквивалентная А, все элементы которой кратны ее
главному элементу.
Доказательство леммы.
Выберем среди всех матриц эквивалентных А ту матрицу[pic] , у которой
h([pic]) минимально. Покажем, что эта матрица удовлетворяет условию,
указанному в лемме. Проведем доказательство от противного. Пусть  [pic]-
главный элемент этой матрицы  так что  [pic]. Допустим, что некоторый
элемент[pic] этой матрицы не делится на [pic] нацело и придем к
противоречию. Рассмотрим 3 случая. Пусть сначала p=i, то есть выбранные
элементы расположены в одной строке. Разделим [pic]на [pic]с остатком:
[pic], где [pic]. Вычитая из q-ого столбца  j-ый с коэффициентом s, придем
к эквивалентной матрице [pic], у которой h([pic])[pic]rr). Каждый элемент [pic] однозначно
представляется в виде суммы: [pic] , где 0[pic][pic]r .
Определение.
Пусть G- абелева группа и [pic]- система ее подгрупп. G называется прямой
суммой системы подгрупп, если каждый элемент  [pic] однозначно
представляется в виде суммы [pic], где [pic]. Это записывается следующим
образом: [pic].
Таким образом, диагональный вид матрицы [pic] означает, что [pic], где
количество слагаемых  Z равно n-r . Очевидно, что слагаемые, отвечающие
тривиальным группам (d=1) могут быть исключены из этой суммы.



Примеры.
1. Очевидно, что [pic].
2. Отметим, что если все подгруппы [pic] имеют конечные порядки [pic] , то
  порядок [pic] равен [pic].
3. Подгруппа  [pic][pic] состоит из элементов: [pic], а [pic]- из элементов
   [pic]. Поскольку [pic]+[pic]=[pic] и [pic]+[pic]=[pic], мы видим, что
  [pic][pic].
4. В развитие предыдущего примера установим, что, если числа p и q взаимно
  просты, то[pic]. Используем основную теорему теории делимости: существуют
  целые x и y, такие что 1=xp+yq . Отсюда для любого n получаем, что
  n=nyq+nxp и значит [pic]. Остается заметить, что эти группы имеют
  одинаковые порядки.
5. Как было показано на предыдущей лекции, группа [pic] описывается
  матрицей [pic]. Приводя эту матрицу к диагональному виду, получаем
  эквивалентную матрицу [pic]. Следовательно, [pic]. В качестве образующих
  этих циклических подгрупп можно взять, например, элементы [pic] и [pic].
Подводя итог всему вышесказанному, можно утверждать, что всякая г.к.о. G
является прямой суммой своих циклических подгрупп [pic],
                    (1)
 где порядки [pic] конечных подгрупп удовлетворяют условию: числа [pic]-
целые. Разложение (1) называется первым каноническим разложением группы G.