Линейная Алгебра. Теория групп

                                  Лекция 13

                              Расширения полей.
                     Формальное присоединение элементов.

             На прошлой лекции было показано, что исходное поле k можно
расширить добавляя элементы из некоторого большего поля. В случае простого
алгебраического расширения добавляется единственный элемент U, являющийся
корнем некоторого неприводимого многочлена над k степени n. Это приводит к
полю k(U), которое будет расширением степени n исходного поля k.
             Оказывается, что конструкцию присоединения можно провести
“изнутри”, не выходя в большее поле K. Идея этого построения раскрывается в
следующей теореме.
Теорема.
Пусть p[pic]k[x] - неприводимый многочлен над k, U - его корень в некотором
большем поле K, (p) =pk[x] [pic]k[x] - главный идеал с образующим элементом
p. Тогда k(U) [pic] k[x]/(p).
Доказательство.
Определим отображение [pic]:k[x] [pic] k(U)  формулой [pic](q)=q(U).
Поскольку каждый элемент V[pic]k(U) может быть записан в виде многочлена от
U, [pic] сюръективно. По теореме о гомоморфизме k(U) [pic] k[x]/Ker[pic].
Остается доказать, что Ker[pic] = (p). Если q=pd, то q(U)=p(U)d(U) = 0 и
таким образом (p) [pic] Ker[pic]. Обратно, если q(U) = 0 то поскольку p
неприводим и p(U) = 0 , p | q и значит Ker[pic][pic]  (p).
Следствие.
Если [pic] и[pic]  корни одного неприводимого над k многочлена, то поля
k([pic]) и k([pic]) изоморфны, причем при этом изоморфизме каждый элемент
поля k отображается на себя.
Замечание.
Поле F = k[x]/(p), для своего построения не требует знания большего поля K,
в котором лежит корень  неприводимого многочлена p. Поле F содержит k.
Рассмотрим естественный гомоморфизм t: k[x] [pic] F и определим элемент U
поля F равенством U= t(x). Тогда, очевидно, p(U) =0 . Теперь только что
доказанная теорема позволяет утверждать, что F[pic]k(U). Такой способ
присоединения новых элементов к полю  называется формальным. Отметим, что
именно так было построено поле C комплексных чисел исходя из поля
вещественных чисел R: мнимую единицу i мы присоединили, как корень
(неприводимого над R) многочлена [pic]. Присоединение было формальным в
вышеуказанном смысле, так как находясь в области вещественных чисел, мы не
можем указать корень этого многочлена.
Примеры.
1. Пусть k = Q, U =[pic]. Тогда p=[pic] имеет корни U, [pic]U, [pic]U, где
  [pic]- кубический корень из 1. Согласно только что сформулированному
  следствию, поля k=k(U) и k=k([pic]U) изоморфны, хотя они и состоят из
  элементов различной природы: все числа из поля k действительные, а для k
  это уже не так.
2. Рассмотрим k = GF(2) и неприводимый многочлен p=[pic] +x+1 над этим
  полем. Нам неизвестно никакое большее поле K, в котором следует искать
  корни этого многочлена. В соответствии с только что доказанной теоремой
  рассмотрим поле K=k[x]/(p). Всякий его элемент можно записать в виде
  a+bU, где a , b[pic]GF(2), причем [pic]+U+1 = 0 . Поле K поэтому содержит
  4 элемента: 0 = 0+0U; 1=1+0U; U =0+1U; V = 1+1U. Поле K является
  расширением поля GF(2) и потому имеет характеристику 2. С учетом этого
  обстоятельства его элементы складываются очевидным образом. Что касается
  умножения, то (как и во всяком поле) (a+bU)(c+dU) = ac+(ad+bc)U+bd[pic]и
  остается воспользоваться равенством [pic]=U+1. Например, U(U+1) = [pic]+U
  =1 так что элементы U и U+1 взаимно обратны. Поле K обозначается GF(4). В
  нем многочлен p имеет корень U.  Другим корнем p в том же поле будет V =
  U+1. Значит в поле GF(4) многочлен p раскладывается на множители первой
  степени: p = (x+U)(x+U+1).
Поле разложения многочлена.
Пусть p[pic]k[x] произвольный многочлен степени n. Разложим его в
произведение неприводимых многочленов: p =[pic]. Присоединяя к k корень
многочлена p построим новое поле[pic], в котором p = (x-a) [pic], где
многочлены[pic] неприводимы над[pic]. Теперь присоединим к [pic]корень
многочлена[pic] и так далее. В результате не более чем через n шагов мы
придем к полю K в котором многочлен p распадается, то есть раскладывается в
произведение многочленов первой степени: p=[pic]
Определение.
Построенное таким образом поле K называется полем разложения многочлена p.
Это - наименьшее поле, содержащее k и все корни[pic] многочлена p: K =
k([pic]).
Примеры.
1. У нас уже появлялись поля разложения. Так мы видели,что Q([pic]) -поле
  разложения многочлена [pic]Q[x], Q([pic]) - поле разложения многочлена
  [pic]Q[x], GF(4) - поле разложения[pic]GF(2)[x].
2. Построим поле разложения для p = [pic]Q[x]. Заметим, что
  поле[pic]=Q([pic]) таковым не является; в этом поле p =[pic] и второй
  множитель q  неприводим даже над R, поскольку его дискриминант меньше
  нуля. Поле разложения K получится, если мы присоединим к полю [pic]один
  из корней уравнения q(x) = 0, то есть величину[pic], где [pic]-
  кубический корень из 1. Впрочем, поскольку[pic], достаточно
  присоединить[pic]. Первое расширение имеет базис 1, [pic],[pic]. Второе -
  1, [pic]. По теореме о строении составного расширения,  базис K над Q
  составляют элементы: 1, [pic],[pic],[pic],[pic],[pic] и [K:Q] =6.
  Заметим, что [pic] =[pic] K, хотя в отдельности ни i ни[pic] не входят в
  K.
Замечание.
Можно доказать ( мы этого делать не будем), что поле разложения данного
многочлена определено однозначно с точностью до изоморфизма.
Строение конечных полей.
Теорема о количестве элементов конечного поля.
Пусть K расширение конечного поля k степени n. Если k содержит q элементов,
то K содержит[pic]  элементов.
Доказательство.
Пусть [pic]- базис расширения. Любой элемент поля K однозначно записывается
в виде:[pic], где[pic]k. Отсюда и вытекает наше утверждение.
Следствие.
Количество элементов конечного поля k  характеристики p равно[pic]. В самом
деле, k[pic]GF(p).
Как нам известно, над полем GF(p) существуют неприводимые многочлены любой
степени . Присоединяя ( формально) к GF(p) корень такого многочлена степени
n, мы получим расширение K[pic]GF(p) степени n. Итак, имеем следующее
утверждение.
Теорема существования для конечных полей
Для всякого натурального n и простого p существует конечное поле из [pic]
элементов.
         Рассмотрим теперь многочлен t =[pic], где q =[pic]  над полем
GF(p). Пусть K какое либо поле, содержащее все корни этого многочлена, так
что в K [pic]. Отметим, что среди элементов[pic] нет одинаковых. В самом
деле, [pic] , так что ОНД(t, [pic]) = 1 и t не имеет кратных корней.
Теорема.
Множество T = {[pic]}[pic]K является полем из q элементов.
Доказательство.

         Надо проверить, что[pic] и [pic]
        1. [pic], Но[pic] . Значит, [pic]
2. [pic].
Следствие.
Поле T   из[pic] элементов является полем разложения многочлена [pic] над
GF(p).
Поскольку поле разложения многочлена определено однозначно с точностью до
изоморфизма, мы вправе ввести для него специальное обозначение. Это поле
называется полем Галуа  в честь французского математика Эвариста Галуа и
обозначается GF([pic]).
Пусть теперь K любое поле из [pic] элементов. Как нам известно, группа K* -
циклическая порядка q-1. Поэтому для любого[pic], а потому [pic] для всех
без исключения элементов K. Таким образом всякий элемент x[pic]K
удовлетворяет уравнению [pic]=0  и K[pic]GF(q). Поскольку они состоят из
одинакового числа элементов, мы получаем:
Теорема.
Любое конечное поле изоморфно GF([pic]).
Следствие.
Всякий неприводимый над GF(p) многочлен s степени n является делителем
многочлена d =[pic].
В самом деле, присоединяя к GF(p) корень многочлена s, мы получаем поле
из[pic] элементов. Следовательно, этот корень содержится в GF([pic]) и
неприводимый многочлен s делит d.
Отметим, что после этого присоединения получается поле разложения
многочлена s.
Следствие.
Поле разложения любого неприводимого многочлена s степени n над GF(p)
получается в результате присоединения одного единственного корня этого
многочлена и изоморфно GF([pic]).  Многочлен s не имеет корней в полях
GF([pic]) при l
12345678910111213