Шпора по математическому анализу

|13. Линейные      | |10. Линейные неодн| |Лекция №7         |
|неоднородные диф  | |ДУ n-го порядка с | |1.Определение (   |
|ур-я n-го порядка | |перем коэф.       | |решения.          |
|с правой частью   | |1)Теорема (я и    | |                  |
|квазимногочлена.  | |ед-ти решения нач | |Предп. что        |
|1)Квазимногочлены | |задачи            | |рассматр. нач.    |
|и их свойства     | |2)Теорема об общем| |задача вида       |
|2)Правило         | |решении           | |(1)-(2)           |
|нахождения        | |3)Метод Лагранжа  | |у(=f(x,у)(1)      |
|частного решения в| |вариации произв   | |у(х0) =у0(2)      |
|нерезонансном     | |пост              | |f(x,у) – непр. по |
|случае            | |4)Ф-я Коши и её   | |совокупн. решенных|
|3)Правило         | |св-ва             | |предполог., что   |
|нахождения        | |                  | |f(x,у) рассматр.  |
|частного решения в| |1:)Теорема (я и   | |на прямоугольнике |
|резонансном случае| |ед-ти решения нач | |D={(х,у):         |
|                  | |задачи            | ||х-х0|        | |теоремой ( и      | |Проинтегр. рав-ва |
|pj(x)=0, (j=1..k  | |единств реш нач   | |у((х) и для z((х) |
|(5). Проведём     | |зад.              | |у(х)=y0+(x0,x)?{f(|
|доказательство    | |Связь между ур-ми | |s,y(s))+((s)}ds   |
|ММИ:              | |n-го порядка и    | |(11)              |
|1)k=1;f(x)=e([1]xp| |системой из       | |z(x)=z0+(x0,x)?{g(|
|1(x)(0            | |n-уравнений 1-го  | |s,z(s))+((s)}ds   |
|2)Пусть многочлен | |порядка: возьмём  | |(12)              |
|вида (3)=0.       | |уравнение 2-го    | |вычтем. почленно  |
|Разделим (3) на   | |порядка с непр    | |из (11)-(12) и    |
|e([k]x:           | |коэф:             | |оценим разницу по |
|e(([1]-([k])xp1(x)| |y’’+p(x)y’+q(x)y=f| |иодулю:           |
|+e(([2]-([k])xp2(x| |(x).              | |у(х)-z(x)=y0-z0+(x|
|)+...+pk=0. Пусть | |y1(x)=y(x);y2(x)=y| |0,x)?{f(s,y(s))+g(|
|rk-степень        | |’(x);             | |s,z(s))+((s)+((s)}|
|многочлена. Если  | |y1’(x)=y’(x)=y2(x)| |ds (13)           |
|продифференцироват| |;                 | ||y(x)-z(x)|       | |неодн ур-я (1)    | |огда посднее н-во |
|gj(x)(0. Если при | |имеет след вид:   | |м-но зап-ть в     |
|p=0 получ 0, то   | |y=c1y1(x)+...+cnyn| |след. виде        |
|дифференциальный  | |(x)+z(x) (5), где | |U(x) (5) – | |решение (1) при   | |м-но вып-ть оценку|
|д-но              | |(c1,...,cn. Вся   | |ф-ции U(x) если   |
|Тхеоремена        | |первая часть (5) –| |ф-ции у(х) и z(x) |
|доказякана        | |решение (3).      | |это точные реш-я, |
|                  | |Добавл к нему     | |то (,(,( =0       |
|2:)Правило        | |частн реш z(x),   | ||y(x)-z(x)|        | |Перенося z –      | |3 Зависимость от  |
|коэффициенты g(x) | |вправо, получ (5).| |правой части      |
|определяются      | |Теорема доказана. | |если у(х) и z(x)  |
|однозначно.       | |Общее решение     | |это точное реш-е  |
|Д-во:             | |однородного       | |но разных задач,  |
|L(p)y=e(xp(x).    | |уравнения есть (  | |то в этом случае  |
|Учитывая (8),     | |общ решения соотв | |(=(=0, (>0 и м-но |
|получаем:         | |однор ур-я, и     | |оценить разницу   |
|L(p){e(xg(x)}=e(xp| |какого – либо     | |между у(х) и z(x) |
|(x). Применим к   | |частн решениия    | |                  |
|лев части ф-лу    | |неодн ур-я.       | ||y(x)-z(x)|0(сост матр | |метод численного  |
|L(p+(){xkg(x)}=p(x| |из игриков) => это| |интегрир. нач-ой  |
|). Нужно найти    | |система имеет     | |задачи. Для этого |
|g(x), удовл       | |единственное      | |весь пр-к  опред-я|
|последн ур-ю. Т.к.| |решение. Проверим,| |ф-ии по х разб. на|
|(-корень хар ур-я,| |что (6) при вып   | |части х0 0 то в силу|
|                  | |                  | |непр. ф-ции f(x,у)|
|                  | |ci(x)=(Wi(x)/W(x))| |:                 |
|                  | |f(x) (11), i=1..n;| ||f(x,у)-          |
|                  | |Wi –              | |f(x,z)|0 (непр. по  |
|                  | |в i-м столбце.    | |совок. переменных)|
|                  | |ci(x)=            | |M=maх|f(x,у)|     |
|                  | |ci+(x0..x)((Wi(s)/| |Д-во              |
|                  | |W(s))f(s)ds,      | |Из (25) вытекает  |
|                  | |i=1,…,n (12).     | ||y(((x)-f(x,у((x))|
|                  | |Подставим в (6):  | ||                 |
|                  | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |=|f(xi,уi)-f(xi,уi|
|                  | |+(i=1..n)(((x0..x)| |)+(x-xi)f(xi,уi))||
|                  | |((Wi(s)/W(s))f(s)d| |
1234567