|
|
|
|
Металлургия>>Расчет затвердевания плоской отливки 
Министерство образования Российской Федерации
Сибирский государственный индустриальный университет
Кафедра литейного производства
Расчет затвердевания плоской отливки
в массивной форме
Выполнили: ст. гр. МЛА-97
Злобина С. А.
Карпинский А. В.
Кирина Л. В.
Тимаревский А. В.
Токар А. Н.
Проверил: доцент, к.т.н.
Передернин Л.В.
Новокузнецк 2001
Содержание
Содержание 2
Задание 3
Постановка задачи 4
1. Графическое представление 4
2. Математическая формулировка задачи 5
Метод расчета 7
Схема апроксимации 8
Алгоритм расчета 11
Идентификаторы 13
Блок-схема 14
Программа 17
Сравнение с инженерными методами расчета 20
Результаты расчета 21
Задание
Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo=30 мм
Сплав: Латунь (10% Zn).
Форма: Песчано-глинистая объемная сырая (ПГФ).
Индексы: 1-Метв, 2- Меж, 4-форма.
а1=3,6(10-5 м2/с
а2=2,1(10-5 м2/с
(1=195 Вт/м(К
(2=101 Вт/м(К
(1=8600 кг/м3
(2=8000 кг/м3
L=221000 Дж/кг
b4=1300 Вт(с1/2/(м2(К)
Tф=293 К
Ts=1312,5 К
Tн=1345 К
N=100
et=0,01 c
eТ=0,01 oC
Постановка задачи
Графическое представление
Принимаем следующие условия:
Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo затвердевает в объемной
массивной песчано-глинистой форме. Принимаем, что теплофизические
характеристики формы и металла постоянны и одинаковы по всему объему,
системы сосредоточенные, геометрическая ось совпадает тепловой и поэтому
можно рассматривать только половину отливки. Lo [pic] (21)
Условие идеального контакта на границе отливка форма
[pic] (22)
Расчет временного шага [pic]:
Величина [pic]-var рассчитывается из условия, что за промежуток
времени [pic] фронт перейдет из точки nf в точку nf+1
Расчет ведут итерационными (пошаговыми) методами
Строим процедуру расчета следующим образом:
Вычисляем нулевое приближенное [pic]для каждого шага,
За шаг итерации примем S,
Нулевое приближение S=0.
[pic] (23)
Уточняем шаг: S+1
[pic] (24)
d – параметр итерации от 0 до 1
для расчета возьмем d=0.
Число S итераций определяется заданной точностью:
Временного шага[pic] (25)
И по температуре[pic] (26)
et и eT – заданные точности по времени и температуре
et=0,01c, eT=0,1(C
(tI=0,01c – время за которое образовалась корочка.
Описанный итерационный процесс называют ''Ловлей фазового фронта в
узел''.
Можно задать (х, (tK=const, тогда неизвестно будет положение фронта,
при помощи линейной интерполяции.
Расчет температурных полей:
Метод «прогонки»:
Считается наиболее эффективным для неявно заданных конечно-разностных
задач.
Суть метода:
Запишем в общем виде неявно заданное конечноразностное уравнение
второго порядка (14) в общем виде:
AiTi-1 – BiTi + CiTi+1 + Di = 0 ; i = 2, 3, 4, …n-1
(27)
действительно для всех j и k.
и краевые условия для него:
T1 = p2T2 + q2 (28 а)
Tn = pnTm-1 + qn (28 б)
Ti = f(Ai; Xi; tk) - сеточное решение.
Ai, Bi, Ci, Di – известные коэффициенты, определенные их условий
однозначности и дискретизации задачи.
Решение уравнения (27) – ищем в том же виде, в котором задано краевое
условие (28 а)
Ti = аi+1Ti+1 + bi+1 ; i = 2, 3, 4, …n-1
(29)
Ai+1, bi+1 – пока не определенные «прогоночные» коэффициенты (или
коэффициенты разностной факторизации)
Запишем уравнение (29) с шагом назад:
Ti-1 = аiTi + bi (30)
Подставим уравнение (30) в уравнение (27):
Ai(aiTi + bi) – BiTi + CiTi+1 + Di = 0
Решение нужно получить в виде (29):
[pic] (31)
Найдем метод расчета прогоночных коэффициентов.
Сравним уравнение (29) и (31):
[pic] (32)
[pic] (33)
(32),(33)– рекуррентные прогоночные отношения позволяющие вычислить
прогоночные коэффициенты точке (i+1) если известны их значения в точке i.
Процедура определения коэффициентов аi+1 и bi+1 называется прямой
прогонкой или прогонкой вперед.
Зная коэффициенты конечных точек и температуру в конечной точке Тi+1
можно вычислить все Тi.
Процедура расчета температур называется обратной прогонкой. То есть,
чтобы вычислить все Т поля для любого tk нужно вычислить процедуры прямой и
обратной прогонки.
Чтобы определить начальные а2и b2, сравним уравнение (29) и уравнение
(28 а):
a2 = p2; b2 = q2
Запишем уравнение 29 с шагом назад:
Tn = pnTn-1 + qn
Tn-1 = qnTn + bn
[pic] (34)
Новая задача определить pn , qn
Вывод расчетных формул:
Преобразуем конечноразностное уравнение (14) в виде (27)
[pic], j=1,2 (35)
относиться к моменту времени k
Из (35) => Ai=Ci=[pic] Bi=2Ai+[pic] Di=[pic] (36)
Определим значения коэффициентов для граничных условий:
на границе раздела отливка-форма
[pic] (37)
приведем это выражение к виду (28 а)
[pic] отсюда (38)
b2=q2=[pic] a2=p2=1 (39)
на границе раздела Meтв - Меж
из (29), Tnf=Tn=> anf+1=0, bnf+1=Ts
(40)
условие на оси симметрии
Tn-1=Tn в соответствии с (21)
pn=1, qn=0 (41)
подставив (41) в (34) получим
[pic] (42)
Алгоритм расчета
1) Определить теплофизические характеристики сред, участвующих в
тепловом взаимодействии ?1, ?2, ?1, ?2, L, а1, а2, Тs, Тн, Тф.
2) Определить размеры отливки, параметры дискретизации и точность
расчета
2l0=30 мм, l0=R=15 мм=0,015 м
n=100, [pic]
первый шаг по времени: ?t1=0,01 с, t=t+?t
еt=0,01 с, et=0,1 оC
3) Принять, что на первом временном шаге к=1, t1=?t1, nf=1, Т1=Т3,
Тi=Тн, , i=2,…,n, Т4=Тф
4) Величина плотности теплового потока на границе раздела отливка –
форма
[pic] (43)
[pic], s=0, (нулевое приближение)
к=2, [pic] (44)
5) Найти нулевое приближение ?tк, 0 на к-том шаге
переход nf > i > i+1 по формуле (23)
[pic]
6) Найти коэффициенты Ai, Сi, Вi, Di по соответствующим формулам для
сред Метв. и Меж. В нулевом приближении при s=0
7) Рассчитать прогоночные коэффициенты ai+1, bi+1 для Метв. и Меж.,
s=0 с учетом что Тnf=Тз.
Т1=р2Т2+g2
Тi=а2Т2+в2
Найти а2 и в2:
а2=1, [pic] (45)
[pic] (46)
[pic]
8) Рассчитать температуру на оси симметрии
[pic] (47)
[pic]
9) Рассчитать температурное поле жидкого и твердого металла
[pic] (48)
10) Пересчитать значения ?tк по итерационному процессу (24)
[pic]
d – параметр итерации (d=0…1)
проверяем точность;
11) Скорость охлаждения в каждом узле i рассчитать по формуле:
[pic], оС/с (50)
12) Скорость затвердевания на каждом временном шаге:
[pic], м/с (51)
13) Средняя скорость охлаждения на оси отливки:
[pic]
14) Положение фронта затвердевания по отношению к поверхности отливки
[pic], к – шаг по времени (52)
15) Полное время затвердевания
[pic], к' - последний шаг (53)
16) Средняя скорость затвердевания отливки
[pic] (54)
Идентификаторы
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
| | | | |
Блок-схема
- [Вводим исходные данные
- [Вычисляем шаг по пространству
- [Вычисляем коэффициенты Аj, Сj для подстановки в (32), (33) и задаем
температуру в первой точке
- [Температурное поле для первого шага по времени
- [Делаем шаг по времени
- [Вычисляем плотность теплового потока
- [Шаг по времени в нулевом приближении
- [Начальные прогоночные коэффициенты
- [Шаг по итерации
- [Вычисляем коэффициенты Bj для подстановки в (32), (33)
- [Вычисляем прогоночные коэффициенты по твердому металлу
- [Прогоночные коэффициенты для фронта
- [Вычисляем прогоночные коэффициенты по жидкому металлу
- [Температура на оси симметрии
- [Расчет температурного поля
- [Ищем максимальный температурный шаг
- [Уточняем (t
- [Точность временного шага
- [Проверка точности
- [Расчет времени
- [Скорость охлаждения в каждом узле
- [Скорость затвердевания и положение фронта
- [Вывод результатов
- [Проверка достижения фронтом центра отливки
- [Расчет полного времени, ср. скорости затвердевания ср. скорости
охлаждения на оси отливки
Вывод результатов
- [Конец.
Программа
CLEAR , , 2000
DIM T(1000), T1(1000), AP(1000), BP(1000), Vox(1000), N$(50)
2 CLS
N = 100: KV = 50: N9 = 5: L = .015
TM = 293: TI = 1345: TS = 1312.5
BM = 1300: a1 = .000036: a2 = .000021
TA0 = .01: ETA = .01: E = .01
l1 = 195: l2 = 101
R0 = 8600: LS = 221000
AF = 0: Pi = 3.14159265359#
3 PRINT "Число шагов N, штук"; N
PRINT "Длина отливки L, м"; L
PRINT "Температура формы Tf, К"; TM
PRINT "Начальная температура сплава Tн, К"; TI
PRINT "Температура затвердевания Tz, К"; TS
PRINT "Bф "; BM
PRINT "Первый шаг по времени, Tk0 "; TA0
PRINT "Точность по времени, Еt "; ETA
PRINT "Точность по температуре, ЕТ "; E
PRINT "Температуропроводность Ме твердого, а1 "; a1
PRINT "Температуропроводность Ме жидкого, а2 "; a2
PRINT "LS= "; LS
PRINT "Коэф. теплопроводности, l1 "; l1
PRINT "Коэф. теплопроводности, l2"; l2
PRINT "Плотность Ме твердого, р1 "; R0
INPUT "Изменить данные "; QV$
IF QV$ = "Y" THEN GOSUB 222
48 N1 = N - 1
DX = L / (N - 1)
A = a1 / DX ^ 2
B1 = 2 * A
RL = R0 * LS * DX
NF = 1
B2 = l1 / DX
KV1 = 1
AL = a2 / DX ^ 2
BL1 = 2 * AL
BL2 = l2 / DX
T(1) = TS
T1(1) = TS
FOR i = 2 TO N
T(i) = TI
T1(i) = TI
NEXT i
TA = TA0
K = 1
dta = .01
GOTO 103
101 K = K + 1
NF = NF + 1
B3 = SQR(Pi * TA)
q = BM * (T(1) - TM) / B3
dta = RL / (AF + q)
B5 = BM * TM / B3
B3 = BM / B3
B4 = B2 + B3
AP(1) = B2 / B4
BP(1) = B5 / B4
T(NF) = TS
NF1 = NF - 1
NF2 = NF + 1
K1 = 0
102 K1 = K1 + 1
Et = 0
B3 = SQR(Pi * (TA + dta))
q = BM * (T(1) - TM) / B3
B5 = BM * TM / B3
B3 = BM / B3
B4 = B2 + B3
AP(1) = B2 / B4
BP(1) = B5 / B4
DTA1 = 1 / dta
IF NF1 = 1 THEN GOTO 23
FOR i = 2 TO NF1
B = B1 + DTA1
f = DTA1 * T1(i)
B4 = B - A * AP(i - 1)
AP(i) = A / B4
BP(i) = (A * BP(i - 1) + f) / B4
NEXT i
23 FOR i = NF1 TO 1 STEP -1
TC = AP(i) * T(i + 1) + BP(i)
B = ABS(TC - T(i)) / TC
IF B > Et THEN Et = B
T(i) = TC
NEXT i
AP(NF) = 0
BP(NF) = TS
B = BL1 + DTA1
FOR i = NF2 TO N
f = DTA1 * T1(i)
B4 = B - AL * AP(i - 1)
AP(i) = AL / B4
BP(i) = (AL * BP(i - 1) + f) / B4
NEXT i
IF NF = N THEN GOTO 34
TC = BP(N) / (1 - AP(N))
B = ABS(TC - T(N)) / TC
T(N) = TC
IF B > Et THEN Et = B
IF NF >= N1 THEN GOTO 34
FOR i = N1 TO NF2 STEP -1
TC = AP(i) * T(i + 1) + BP(i)
B = ABS(TC - T(i)) / TC
IF B > Et THEN Et = B
T(i) = TC
NEXT i
34 P = AF + q
P1 = 1 / P
TM2 = BL2 * (T(NF2) - TS)
IF NF = N THEN GOTO 80
TM1 = B2 * (TS - T(NF1))
DTF = P1 * (RL + dta * (TM2 - TM1 + P))
P3 = ABS(DTF - dta) / DTF
dta = DTF
IF (P3 > ETA) OR (Et > E) THEN GOTO 102
80 TA = TA + dta
IF NF = 1 THEN dta = TA0
Vox = (T1(NF) - TS) / dta
FOR i = 1 TO N
Vox(i) = (T1(i) - T(i)) / dta
T1(i) = T(i)
NEXT i
VS = DX / dta
Xf = (K - 1) * DX
IF K KV1 + 1 THEN GOTO 33
KV1 = KV1 + KV
GOSUB 777
33 GOTO 105
103 PRINT "РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА": CLS : GOSUB 777
105 IF K @B;82:8
lD
"1(E,tk)
T1(?)
"4(E,tk)
TD
l0
q0
qD
$(4) 5B(1) 56(2)
D@>=B 70B25@4520=8O
"н
TS
Т2(х,tk)
y(tk)
гр.формы отливки
lф
Т1(х,tk)
T1(п)
Т4(х,tk)
Tф
l0
q0
qф
Ф(4) Мет(1) Меж(2)
фронт затвердевания
Т,К(0С)
1 2 nf nц
Х
(X
хi,tk+1
хi-1,tk
хi,tk
хi+1,tk
хi-1,tk
хi,tk
хi+1,tk
хi,tk-1
1
[pic]
Ti=Tн
i=2, n
k=k+1, nf=nf+1, s=0;
[pic]
a2=1 b2 =[pic]
s=s+1, max (eT=0, Тis=Ti
B1=2A1+[pic]; B2=2A2+[pic]
А1=[pic], А2=[pic], С1=А1, С2=А2, T1=Tз
а1, а2, (1, (2, (1, Ls, Тф, Тs, Тн, lo, b4, n, (t0, et, eT, d.
[pic]
2
i=2, nf-1
Di.1=[pic];
[pic]; [pic]
anf+1=0, bnf+1=Ts
i=2, nf-1
Di=[pic];
[pic]; [pic]
[pic]
i=n, 2
Ti = аi+1Ti+1 + bi+1
i=1, n
[pic]
[pic]
(eT>eT or (et>et
[pic]
Да
Нет
t=t+(t
i=1, n
[pic]
[pic] [pic]
k; (зк ; Ynfk; Ti; (охк;
nf=n
Да
Нет
[pic][pic][pic]
tk; (зср; (ц
1
2
| Для добавления страницы "Расчет затвердевания плоской отливки" в избранное нажмине Ctrl+D |
|
|
|
|
|
|
