Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

      Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :
                                    [pic]

  (x,y) ?D      ;       u|Г=xy2=f(x,y) ;

  область D ограничена линиями:  x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;

  (x0, y0 ) = (3, 5) .

    Следует решить задачу сначала с шагом по x и по  y  :  h=0.2,  потом  с
  шагом h=0.1  .  Точность решения СЛАУ ?=0.01  .


2. ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

           Поставленная  задача  решается  численно  с  помощью  программы,
  реализующей метод сеток , разработанный  для  численного  решения  задачи
  Дирихле для уравнений эллептического типа.
    Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1.  Ниже
  описан алгоритм работы этой программы.


    1.  На первом  шаге  область  D  дискретизируется.  Она  заменяется  на
  область Dh путем разбиения области D параллельными прямыми по  следующему
  правилу:   yi=y0 ± ih,   xj=x0  ±  ih  ,       i,j=0,1,2….             РР
    Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет  лежать
  целиком вне области D.  Получается множество точек (xi,yj).
       2. За область Dh  принимают те точки  множества  (xi,yj)  ,  которые
  попали внутрь области D,  а  также  дополняют  это  множество  граничными
  точками.
         3.Во всех точках области Dh вычисляются значения  функции  f(xi,yj)
.
      4. За область Dh* принимаются все внутренние точки области  Dh,  т.е.
  удовлетворяющие требованию:
           (xi,yj) ? Dh*  , если   (xi+1,yj)  ?  Dh  ,  (xi-1,yj)  ?  Dh  ,
  (xi,yj+1) ? Dh , (xi,yj-1) ? Dh .
      5. Во всех точках области  Dh*   вычисляется  функция   F(N)*[i,j]  (
  индекс N обозначает номер итерации, на которой производится  вычисление):


                          F(N)*[i,j]=(f(xi+1,yj) + f(xi-1,yj) +  f(xi,yj+1)
  + f(xi,yj-1))/4
     6. Теперь если  max | F(N+1)*[i,j] - F(N)*[i,j]|
#include 
#include 
#include 
#include 

 int i,j,k;                // Variables
 float h,x,y,tmp,E1;
 struct point {
      float xx;
      float yy;
      int BelongsToDh_;
      int BelongsToDh;
      float F;
      float F_;
      } p0,arrayP[13][33];
 float arrayX[13];
 float arrayY[33];
 float diff[500];

   void CreateNet(void);               // Procedure Prototypes
   int  IsLineFit(float Param);
   void CrMtrD(void);
   void RegArrayX();
   void RegArrayY();
   void CreateDh_();
   int  IsFit(point Par);
   void FillF();
   void CreateDh();
   int  IsInner(int i,int j);
   void FillF_();
   void CountDif();
   void MakeFile();

   void main(void)        //MAIN
   {
     clrscr();
     p0.xx = 3;
     p0.yy = 5;
     h = 0.2;
     p0.BelongsToDh_=1;
     p0.BelongsToDh=1;
     CreateNet();
     RegArrayX();
     RegArrayY();
     CrMtrD();
     CreateDh_();
     FillF();
     CreateDh();
     FillF_();
     CountDif();
      while (E1>=0.005)  {
               for(i=0;i8.0) || (par4.0) return 1;
                  else return 0;

                }
     }


    void CreateNet(void)         // Creation of Net (area D )
     {
      x = p0.xx;
      i=0;
      arrayX[i]=x;
      while (!IsLineFit(x,'x'))
         {
         x += h;
         i++;
         arrayX[i] = x;
         }
      x = p0.xx-h;
      i++;
      arrayX[i]=x;
      while (!IsLineFit(x,'x'))
         {
         x -= h;
         i++;
         arrayX[i] = x;
         }
         for (i=0;iarrayX[i+1]) {double tmp=arrayX[i];
                                        arrayX[i]=arrayX[i+1];
                                        arrayX[i+1]=tmp;}}
             LastUnreg=LastUnreg-1;  }
             for (i=0;iarrayY[i+1]) { tmp=arrayY[i];
                                        arrayY[i]=arrayY[i+1];
                                        arrayY[i+1]=tmp;}}
             LastUnreg=LastUnreg-1;  }
             for (i=0;i=1.99) &&  (Par.yy>=Par.xx)
              && (Par.yyE1) E1=diff[k];}

        }
  void MakeFile()

       {
      ofstream f;
      FILE *f1=fopen("surf.dat","w1");
        fclose(f1);
      f.open("surf.dat",ios::out,0);
       for(i=0;i





  

    
Для добавления страницы "Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток" в избранное нажмине Ctrl+D