Метод математической индукции

                         Брянский Городской Лицей №1



                      Исследовательская работа на тему:


                        Метод Математической Индукции



                                                               Выполнил
                                                               Мелешко
Константин
                                                                 ученик 10
                           физико-математического
                                                               Брянского
                             Городского Лицея №1

                                           Проверил
                                                  Тюкачева Ольга Ивановна

                                   -2003-
                     Содержание исследовательской работы


      Содержание_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  2
        Введение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

Основная часть
      Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _ _ _ _3-4
      Принцип математической индукции_ _ _ _ _4-5
      Метод математической индукции_ _ _ _ _ _ 6

Решение Методом Математической Индукции
         К задачам на суммирование_ _ _ _ _ _ _ _ _ 7
         К задачам на  доказательство неравенств_ _8
         К задачам на делимость _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11
         К задачам на доказательство тождеств _ _ _12
         К другим задачам _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  13
            Заключение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16
      Список использованной литературы _ _ _ _17



                                  Введение


    Слово индукция по-русски означает наведение,  а  индуктивными  называют
выводы, сделанные  на  основе  наблюдений,  опытов,  т.е.  полученные  путем
заключения от частного к общему.
    Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень  велика.  Они
дают те положения, из  которых  потом  путем  дедукции  делаются  дальнейшие
умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается  на  трех  законах
движения  Ньютона,   сами   эти   законы   явились   результатом   глубокого
продумывания опытных данных, в частности законов  Кеплера  движения  планет,
выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского  астронома  Тихо
Браге.  Наблюдение,  индукция  оказываются  полезными  и  в  дальнейшем  для
уточнения сделанных предположений. После  опытов  Майкельсона  по  измерению
скорости света в движущейся  среде  оказалось  необходимым  уточнить  законы
физики, создать теорию относительности.
    В математике роль индукции в значительной степени состоит  в  том,  что
она лежит  в  основе  выбираемой  аксиоматики.  После  того  как  длительная
практика показала, что прямой путь  всегда  короче  кривого  или  ломанного,
естественно было сформулировать аксиому: для любых  трех  точек  А,  В  и  С
выполняется неравенство
    [pic].
    Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за» тоже  появилось  при
наблюдениях  за   строем   солдат,   кораблей   и   другими   упорядоченными
множествами.
    Не следует, однако, думать, что  этим  исчерпывается  роль  индукции  в
математике. Разумеется, мы не  должны  экспериментально  проверять  теоремы,
логически выведенные из аксиом: если при выводе не было  сделано  логических
ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы.  Но
из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор  тех
утверждений,  которые  надо  доказывать,  вновь  подсказывается   индукцией.
Именно она позволяет отделить полезные теоремы  от  бесполезных,  указывает,
какие теоремы  могут  оказаться  верными,  и  даже  помогает  наметить  путь
доказательства.



                        Суть Математической Индукции


        Покажем на примере использование Метода Математической Индукции и в
конце сделаем обобщающий вывод.
        Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в
пределах 4  p,   где            p-
фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической
индукции формулируется следующим образом.
      Если предложение А(n) истинно при  n=p  и если А(k)(А(k+1) для любого