Hpor

|Билет№1              |Билет №2             |                     |
|1)Функция y=F(x)     |1)Точка Х0 наз-ся    |Билет №3             |
|называется           |точкой максимума     |1)арксинусом числа а |
|периодической, если  |функции f, если для  |называется число, для|
|существует такое     |всех х из некоторой  |которого выполнены   |
|число Т, не равное   |окрестности точки х0 |следующие два        |
|нулю, что для любых  |выполнено неравенство|условия: 1)-p/2 1, a arcsin|
|любые числа вида     |окрестности х0       |a определён при –1 0.      |y= sin x (период     |Пусть Ф и F-         |
|Свойства степеней с  |функции равен 2пи n) |первообразные функции|
|рациональным         |решение ур-ия можно  |f на промежутке I.   |
|показателем Для любых|записать так:        |Покажем, что разность|
|рациональных чисел r |х=arcsin a +2пи n    |Ф-F равна постоянной.|
|иs и любых           |x=пи- arcsin a +2пи n|Имеем  (Ф(x) – F(x))’|
|положительных a и b  |                     |= Ф’(x) –            |
|справедливы следующие|решение данного ур-ия|F'(x)=f(x)-f(x)=0,   |
|свойства. 1)         |можно записать в виде|следовательно, по    |
|Произведение степеней|следующей формулы    |признаку постоянства |
|с одинаковыми        |x=(-1)^n  arcsin a + |функции на интервале |
|основаниями равно    |пи n                 |Ф(x)-F(x)=C. Значит  |
|степени с тем же     |при четных n(n=2k) мы|любую первообразную  |
|основанием и         |получим все решения, |можно записать в виде|
|показателем, равным  |записанные первой    |F(x)+C. Графики любых|
|сумме показателей    |формулой , а при     |двух первообразных   |
|множителей: a^r * a^s|нечетных n(n=2k+1)-  |для функции y=f(x)   |
|= a^r+s.             |все решения          |получаются друг из   |
|2) Частное степеней с|записанные второй    |друга параллельным   |
|одинаковыми          |формулой.            |переносом вдоль оси  |
|основаниями равно    |                     |Ox (рис. 18)         |
|степени с тем же     |                     |                     |
|основанием и         |                     |                     |
|показателем, равным  |                     |                     |
|разности показателей |                     |                     |
|делимого и делителя: |                     |                     |
|a^r : a^s = a^r-s.   |                     |                     |
|3) При возведении    |                     |                     |
|степени в степень    |                     |                     |
|основание оставляют  |                     |                     |
|прежним, а показатели|                     |                     |
|перемножают: (a^r)^s |                     |                     |
|= a^rs   4) Степень  |                     |                     |
|произведения равна   |                     |                     |
|произведению         |                     |                     |
|степеней: (ab)^r =   |                     |                     |
|a^r * b^r.   5)      |                     |                     |
|Степень частного     |                     |                     |
|равна частному       |                     |                     |
|степеней (a/b)^r =   |                     |                     |
|a^r / b^r.   6) Пусть|                     |                     |
|r рациональное число |                     |                     |
|и число a больше     |                     |                     |
|нуля, но меньше числа|                     |                     |
|b, 0 b^r, если      |                     |                     |
|r-отрицательное      |                     |                     |
|число.7) Для любых   |                     |                     |
|рациональных чисел r |                     |                     |
|и s из неравенства   |                     |                     |
|r1 ; a^r > |                     |                     |
|a^s при 00. Имеем:|                     |                     |
|nSQRa^m : qSQRa^p =  |                     |                     |
|nqSQRa^mq : nqSQRa^pn|                     |                     |
|= nqSQRa^mq /        |                     |                     |
|nqSQRa^pn Используя  |                     |                     |
|свойство частного    |                     |                     |
|корней, получим:     |                     |                     |
|nqSQRa^mq / nqSQRa^pn|                     |                     |
|= nqSQRa^mq / a^pn = |                     |                     |
|nqSQRa^mq-pn.        |                     |                     |
|Применим определение |                     |                     |
|степени с            |                     |                     |
|рациональным         |                     |                     |
|показателем:         |                     |                     |
|nqSQRa^mq-pn =       |                     |                     |
|a^mq-pn/nq =         |                     |                     |
|a^mq/nq-pn/nq =      |                     |                     |
|a^m/n-p/q = a^r-s.   |                     |                     |
|Билет №4             |Билет№ 5             |Билет №6             |
|1)Арккосинусом числа |1)На интервале       |1)Пусть на некотором |
|а называется такое   |(-Пи/2;Пи/2) функция |промежутке задана    |
|число, для которого  |тангенс возрастает и |функция y=f(x); x0 – |
|выполнены следующие  |принимает все        |точка этого          |
|два условия: 1)      |значения из R.       |промежутка; ?x –     |
|0 1;    |Арктангенсом числа а |приращения аргумента |
|arccos a  определён  |называется такое     |к нулю называется    |
|при |a|Б=1           |число из интервала   |производной функции в|
|2)Показательной      |(-Пи/2;Пи/2) тангенс |точке. Пусть         |
|функцией называется  |которого равен а.    |материальная точка   |
|функция вида y=a^x,  |Пример arctg1=Пи/4,  |движется по          |
|где а- заданное      |так как tgПи/4=1 и   |координатной прямой  |
|число, а >0, a не    |Пи/4((-Пи/2;Пи/2);   |по закону x=x(t),    |
|равно 1. Свойства    |arctg(-SQR3)=-Пи/3,  |т.е. координата этой |
|показательной функции|так как              |точки x- известная   |
|1) Областью          |tg(-Пи/4)=-SQR3 и    |функция времени t.   |
|определения          |–Пи/3((-Пи/2;Пи/2).  |Механический смысл   |
|показательной функции|2)Логарифмической    |производной состоит в|
|являются все         |функцией называется  |том, что производная |
|действительные числа.|функция вида y = loga|от координаты по     |
|Это следует из того, |x, где а -заданное   |времени есть         |
|что для любого x     |число, a>0, a не рано|скорость: v(t) =     |
|принадлежащего R     |1. Свойства          |x’(t).               |
|определено значение  |логарифмической      |2)1) Если |a|>1, то  |
|степени a^x (при     |функции 1) Областью  |уравнение cos x = a  |
|a>0). 2) Множеством  |определения          |решений не имеет, так|
|значений             |логарифмической      |как |cos x|0 2)   |имеет один корень    |
|области определения, |Множеством значений  |x=arccos a.          |
|если a>1.  б)        |логарифмической      |Учитывается, что     |
|Показательная функция|функции являются все |функция y=cos x –    |
|Y=a^x убывает на всей|действительные числа.|периодическая с      |
|области определения, |Пусть y0 –           |периодом 2Пиn,       |
|если 01, то     |действительное число.|уравнения cosx=a на  |
|большему значению    |Покажем, что найдётся|промежутке [2Пиn;    |
|аргумента (x2>x1)    |такое положительное  |Пи+2Пиn], n          |
|соответствует большее|значение аргумента   |принадлежит Z, в виде|
|значение функции     |x0, что выполняется  |x = arccos a+ 2Пиn,  |
|(a^x2 > a^x1). Из    |равенство y0 =       |где n принадлежит Z. |
|свойств степени      |logax0. По           |Б)  На промежутке    |
|известно, если r>s и |определению логарифма|[-Пи; 0] функция y   |
|a>1, то a^r >a^s.    |числа имеем: x0 =    |=cosx возрастает,    |
|Пусть х2 > x1 и a >  |a^y0, a^y0 > 0. Мы   |следовательно,       |
|1, тогда a^x2 >a^x1  |показали, что нашлось|уравнение cosx=a     |
|(по свойству         |значение x0 > 0, при |имеет один корень, а |
|степени). А это      |котором значение     |именно,x=-arccos a.  |
|означает, что функция|логарифмической      |Учитывая             |
|y=a^x1 при a>1       |функции равно у0 (у0 |периодичность функции|
|возрастает на всей   |– произвольное       |y= cos. Делаем вывод,|
|области определения. |действительное       |что решением         |
|Докажем, что если 0 x1) соответствует|нуль при х=1. Решим  |n принадлежит Z,     |
|меньшее значение     |уравнение logax=0. По|являются числа вида  |
|функции (a^x2 s и 0x1 |функция y=loga x     |могут быть записаны  |
|и 01.Докажем, что|принадлежит Z.       |
|означает, что функция|большему значению    |                     |
|y=a^x при 0 х1)  |                     |
|убывает на всей      |соответствует большее|                     |
|области определения. |значение функции     |                     |
|4) Нет таких значений|(loga x2 > loga x1), |                     |
|аргумента, при       |если a>1. Пусть x2 > |                     |
|которых значения     |x1 > 0; тогда        |                     |
|показательной функции|используя основное   |                     |
|равны нулю, т.е. у   |логарифмическое      |                     |
|показательной функции|тождество, запишем   |                     |
|нет нулей.           |это неравенство в    |                     |
|5)Показательная      |виде a^logax2 >      |                     |
|функция непрерывна на|a^logax1 . (1) В     |                     |
|всей области         |неравенстве (1)      |                     |
|определения.  6)     |сравниваются два     |                     |
|Показательная функция|значения             |                     |
|дифференцируема в    |показательной        |                     |
|каждой точки области |функции. Поскольку   |                     |
|определения,         |при a>1 показательная|                     |
|производная          |функция возрастает,  |                     |
|вычисляется по       |большее значение     |                     |
|формуле (a^x)’ = a^x |функции может быть   |                     |
|ln a. (график на     |только при большем   |                     |
|рисунке 29)          |значении аргумента,  |                     |
|                     |т.е. logax2 > logax1.|                     |
|                     |б)Логарифмическая    |                     |
|                     |функция y=logax      |                     |
|                     |убывает на всей      |                     |
|                     |области определения, |                     |
|                     |если 01 принимает    |                     |
|                     |положительные        |                     |
|                     |значения, если x>1;  |                     |
|                     |отрицательные        |                     |
|                     |значения, если 01.  |                     |
|                     |Пусть a>1, тогда     |                     |
|                     |функция y=logax      |                     |
|                     |возрастает на всей   |                     |
|                     |области определения  |                     |
|                     |(рис. 31); причём    |                     |
|                     |loga1=0. Из этого    |                     |
|                     |следует, что: для x>1|                     |
|                     |logax > loga1, т.е.  |                     |
|                     |logax>0; для 01  logax |                     |
|                     |loga1, т.е. logax >  |                     |
|                     |0. 6) Логарифмическая|                     |
|                     |функция непрерывна на|                     |
|                     |всей области         |                     |
|                     |определения.         |                     |
|Билет № 7            |Билет №8             |Билет №9             |
|1)Пусть на некотором |1) Пусть ф-ция f(x)  |1. Все рациональные и|
|промежутке задана    |задана на некотором  |дробно-рациональные  |
|функция y=f(x);      |промежутке, а –точка |ф-ции непрерывны на  |
|x0-точка этого       |этого промежутка.    |всей области         |
|промежутка;          |Если для ф-ции       |определения. Этот    |
|?x-приращение        |выполняется          |факт следует из того |
|аргумента х; точка   |приближенное         |что рациональные и   |
|х0+ ?x принадлежит   |равенство f(x) ?f(a) |дробно-рациональные  |
|этому промежутку;    |                     |ф-ции дефференцируемы|
|?y-приращение        |с любой , наперед    |во всех точках своих |
|функции.  Предел     |заданной точностью,  |областей опр-ия.     |
|отношения (если он   |для всех х , близки х|Например: ф-ция      |
|существует)          |к а , то говорят ,   |f(x)=x^3-7X^2+24x    |
|приращения функции к |что ф-ция непрерывна |непрерывна на        |
|приращению аргумента |в точке а. Иными     |множестве            |
|при стремлении       |словами ф-ция f      |действительных чисел;|
|приращения аргумента |непрерывна в точке а |а ф-ция              |
|к нулю называется    |, если f(x) >f(a) при|g(x)=(x^3+8)/(x-2)   |
|производной функции в|х >а.                |непрерывна на        |
|точке.  Пусть задана |Ф-ция непрерывная в  |промежутке (-(:2) и  |
|дифференцируемая     |каждой точке         |на промежутке (2;+ ()|
|функция y=f(x)       |промежутка наз-ся    |                     |
|(рис.36).            |непрерывной на       |2. Логарифмом числа b|
|Геометрический смысл |промежутке.          |наз-ся показатель    |
|производной состоит в|Гр. непрерывной на   |степени в к-рую нужно|
|том, что значение    |промежутке ф-ции     |возвести основание а |
|производной функции в|представляет собой   |чтобы получить число |
|точке x0 равно       |непрерывную линию.   |b.                   |
|угловому коэффициенту|Иными словами гр.    |Из опр-ия имеем:  a^ |
|касательной,         |можно нарисовать не  |logab =b (осн-ое     |
|проведённой к графику|отрывая карандаша от |лог-ое тождесто)     |
|функции в точке с    |бумаги.              |Св-ва  логарифмов:   |
|абсциссой x0:        |Например ф-ция       |При  любом а>0(а(1), |
|f’(x0)=R, где        |f(x)=3^x непрерывна в|и любых пол-ных х и у|
|R-угловой коэффициент|точке                |выполняются следующие|
|касательной.         |х0=2.Действаительно  |св-ва:               |
|2)1) На промежутке   |3^x >3^2, при х>2.   |loga1=0              |
|(-Пи.2 ; Пи.2)       |Ф-ция f(x)=3^x       |logaа=1              |
|функция y=tgx        |непрерывна на        |loga(ху)= logaХ+     |
|возрастает, значит,  |множестве всех       |logaУ                |
|на этом промежутке,  |действительных чисел |Док-во: Воспользуемся|
|по теореме о корне,  |, а ее график можно  |осн-ным лог-им       |
|уравнение tgx=a имеет|нарисовать не отрывая|тождеством           |
|один корень, а       |карандаша от бумаги. |a ^ logab =b и св-ом |
|именно, x=arctg a    |2) Арифметическим    |показат-ной ф-ции    |
|(рис 37).  2)        |корнем n-ой степени  |а^ х+у =а^x * а^y    |
|Учитывая, что период |из числа а наз-ся    |имеем                |
|тангенса равен Пиn,  |неотрицательное число|а^ loga(xy)=xy= a^   |
|все решения          |n-ая степень к-рого  |logax *a^ logay =a   |
|определяются формулой|равна а.             |^logax +logay        |
|x=arctg a + Пиn,     |Св-ва корней: Для    |loga(Х/У)= logaХ-    |
|nпринадлежит Z.      |любых натуральных n, |logaУ                |
|                     |целого k и любых     |logaХ^Р= рlogaХ      |
|                     |неотрицательных чисел|Формула перехода:    |
|                     |a и b выполняются    |logaХ= logbX/ logbA  |
|                     |следующие св-ва:     |                     |
|                     |N sqr ab= n sqr a * n|                     |
|                     |sqr b                |                     |
|                     |n sqr (a/b)= (n sqr  |                     |
|                     |a)/( n sqr b) b ?0   |                     |
|                     |n sqr (k sqr a)= kn  |                     |
|                     |sqr (a), k> 0        |                     |
|                     |n sqr (a) = kn sqr   |                     |
|                     |(a^k) ,k>0           |                     |
|                     |n sqr (a^k)=( n sqr  |                     |
|                     |a)^k (ели k?0,то а?0)|                     |
|                     |                     |                     |
|                     |Для любых            |                     |
|                     |неотрицательных чисел|                     |
|                     |а и b таких,  что а      |–1  integral  |является чётной, т.е.|предел отношения при |
|(a;b) f(x) dx при n> |для любого x ? R     |?x(0Разность         |
|?                    |выполняется равенство|S(x+?x)-S(x) равна   |
|2)Если каждому       |cos(-x)=cosx. Пусть  |площади криволинейной|
|действительному числу|точка Рх получина при|трапеции с основанием|
|поставлен в          |повороте точки Ро на |(x; x+?x(            |
|соответствие его     |х радиан, а точка    |Если ?x(0 то эта     |
|синус, то говорят,   |Р-хполучина при      |площадь              |
|что задана функция   |повороте точки Р0 на |приблизительно равна |
|синус (обозначение   |–х радиан(рис46).    |площади              |
|y=sin x). Свойства   |Треугольник ОрхР-х   |прямоугольника f(x)* |
|функции синус  1)    |является             |?x   т.е.            |
|Область определения  |равнобедренным; ON – |S(x+?x)-S(x) (f(x) * |
|функции синус        |биссектриса угла     |?x                   |
|является множество   |РхР-х, значит,       |Имеем                |
|всех действительных  |является и высокой,  |S(x+?x)-S(x)/ ?x     |
|чисел, т.е. D(y)=R.  |проведённой к стороне|(f(x)                |
|Каждому              |РхР-х. Из этого      |При ?x(0. Этим       |
|действительному числу|следует, что точки Рх|показано что         |
|х соответствует      |и Р-х имеют одну и ту|S((x)=f(x)           |
|единственная точка   |же абсциссу ON, т.е. |3)Равенство S((x)    |
|единичной окружности |cos(-x)=cosx.        |=f(x) означает что S-|
|Px, получаемая       |4)Функция косинус    |первообразная        |
|поворотом точки      |является             |функцииf на заданном |
|P0(1;0) на угол,     |периодической с      |промежутке.          |
|равный х радиан.     |периодом 2ПиR, где   |3)По основному св-ву |
|Точка Рх имеет       |R-целое, кроме 0.    |первообразной имеем  |
|ординату, равную     |Наименьшим           |F(x)=S(x)+C, где F-  |
|sinx. Следовательно, |положительным        |какая-либо           |
|для любого х         |периодом косинуса    |первообразная для f. |
|определено значение  |являеися число 2Пи.  |При x=a получим ,что |
|функции синус.  2)   |Каждому              |                     |
|Множеством значений  |действительному числу|F(a)=S(a)+C т.е.     |
|функции синус        |вида x+2ПиR, где     |C=F(a).              |
|является промежуток  |R?Z,соответствует    |При x=b имеем        |
|[-1;1], т.е.         |единственная точка   |F(b)=S(b)+F(a)       |
|E(y)=[-1;1]. Это     |единичной окружности |Следовательно        |
|следует из           |Рх+2ПиR, получаемая  |S=S(b)=F(b)-F(a)     |
|определения синуса:  |поворотом точки Р0   |                     |
|ордината любой точки |(1;0) на угол        |                     |
|единичной окружности |(x+2ПиR) радиан.     |                     |
|удовлетворяет условию|Точка Рх+2ПиR имеет  |                     |
|–1 x1.  |                     |                     |
|Сравним два значения |                     |                     |
|функции: sinx2 –     |                     |                     |
|sinx1 = 2cos x1+x2/2 |                     |                     |
|* sin x2-x1/2; 0  |                     |                     |
|0, cos x1+x2/2>0.    |                     |                     |
|Таким образом,       |                     |                     |
|sinx2-sinx1>0,       |                     |                     |
|значит, большему     |                     |                     |
|значению аргумента   |                     |                     |
|соответствует большее|                     |                     |
|значение функции,    |                     |                     |
|т.е. функция синус   |                     |                     |
|возрастает на        |                     |                     |
|промежутке [-Пи/2;   |                     |                     |
|Пи/2]. В силу        |                     |                     |
|периодичности синуса |                     |                     |
|можно утверждать, что|                     |                     |
|синус возрастает на  |                     |                     |
|промежутках [-Пи/2 + |                     |                     |
|2ПиR; Пи/2 + 2ПиR],  |                     |                     |
|где R принадлежит Z. |                     |                     |
|8) Функция синус     |                     |                     |
|имеет максимумы ,    |                     |                     |
|равные 1, в точках   |                     |                     |
|Пи/2 + 2ПиR, где где |                     |                     |
|R принадлежит Z.     |                     |                     |
|Функция Синус имеет  |                     |                     |
|минимумы, равные –1, |                     |                     |
|в точках 3Пи/2 +     |                     |                     |
|2ПиR, где R          |                     |                     |
|принадлежит Z.       |                     |                     |
|Покажем, что точка   |                     |                     |
|х0=Пи/2 является     |                     |                     |
|точкой максимума.    |                     |                     |
|Функция синус        |                     |                     |
|возрастает на        |                     |                     |
|промежутке [-Пи/2;   |                     |                     |
|Пи/2], т.е.          |                     |                     |
|sinx1      |
|                     |                     |1)D(f)=[0;+(], если а|
|                     |                     |не является          |
|                     |                     |натуральным числом.  |
|                     |                     |Это следует из       |
|                     |                     |определения степени с|
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем. Если а  |
|                     |                     |натуральное число, то|
|                     |                     |D(f)=(-(;+() по      |
|                     |                     |определению степени с|
|                     |                     |натуральным          |
|                     |                     |показателем.         |
|                     |                     |2)E(f)=[0;+() для    |
|                     |                     |всех а>1, кроме а=   |
|                     |                     |2R+1. Где R(N. Это   |
|                     |                     |следует из           |
|                     |                     |определения степени с|
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем.         |
|                     |                     |E(f)=(-(;+() для     |
|                     |                     |нечётных а,т.е.      |
|                     |                     |а=2R+1, где R(N.     |
|                     |                     |3)Если а-чётное      |
|                     |                     |натуральное число, то|
|                     |                     |данная функция       |
|                     |                     |является чётной. Т.к.|
|                     |                     |f(-x)=(-x)^2R =      |
|                     |                     |((-x)^2)^R= (x^2)^R =|
|                     |                     |x^2R = f(x). Если    |
|                     |                     |а-нечётное           |
|                     |                     |натуральное число. то|
|                     |                     |данная функция       |
|                     |                     |является нечётной,   |
|                     |                     |так как              |
|                     |                     |f(-x)=(-x)^2R+1 +    |
|                     |                     |(-x)^2R (-x)= x^2R * |
|                     |                     |(-x)=-x^2R * x+      |
|                     |                     |-x^2R+1 + -f(x).     |
|                     |                     |4)При х=0 функция    |
|                     |                     |f(x)=0, так как 0^a =|
|                     |                     |0 при а>0. 5)При x>0 |
|                     |                     |функция f(x)>0.  Это |
|                     |                     |следует из           |
|                     |                     |определения степени с|
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем. При     |
|                     |                     |нечётных а(а=2R+1,   |
|                     |                     |R(N), если х0, |
|                     |                     |но x1. Из   |
|                     |                     |свойства степени с   |
|                     |                     |рациональным         |
|                     |                     |показателем          |
|                     |                     |(r-рациональное число|
|                     |                     |и 00)     |
|                     |                     |следует, что         |
|                     |                     |x1^a0.Возьмем два  |
|перемещение точки по |                     |знацения аргумента x1|
|прямой. Чтобы найти  |                     |и x2,принадлежащие   |
|скорость движения v, |                     |этому интегралу,     |
|нужно определить     |                     |причём х10  |
|v(2)=4*2-3=5 (м/с).  |                     |(по условию), значит,|
|2. Таблица           |                     |f’(c)*(x2-x1)>0, т.е.|
|первообразных        |                     |разность значению    |
|элементарных ф-ий.   |                     |аргумента            |
|                     |                     |соответствует большее|
|                     |                     |значение ф-ии, т.е.  |
|                     |                     |ф-ия                 |
|                     |                     |y=f(x) является      |
|                     |                     |возрастающей.        |
|                     |                     |Аналогично           |
|                     |                     |показывается         |
|                     |                     |достаточное условия  |
|                     |                     |ф-ии.                |
|Ф-ия |y=x^n|y=si|y=|
|     |, n(1|n x |co|
|     |     |    |s |
|     |     |    |x |
|Общий|(x^(n|-cos|Si|
|вид  |+1))/|x+C |n |
|перво|(n+1)|    |x+|
|образ|+C   |    |C |
|ных  |     |    |  |
|Ф-ия |y=e^x|y=a^|Y=|
|     |     |x   |1/|
|     |     |    |x |
|Общий|e^x+C|(a)/|ln|
|вид  |     |ln  |x |
|перво|     |a+C |+C|
|образ|     |    |  |
|ных  |     |    |  |