Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7


      [pic]

Задание:

     1. Ввести новые  переменные,  максимально  уменьшив  число  параметров
        системы.
     2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их  характеристики  в
        зависимости от параметров системы.
     3.   Исследовать   поведение   предельных    циклов.    Доказать    их
        существование/несуществование.
     4. Построить фазовые портреты системы при  всех  возможных  параметрах
        системы.
     5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.



1. Вводим новые переменные x ( Ax, y ( By, t ( Tt и переписываем систему:
      [pic]



2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

   2.1    x=0,y=0      ==>   O(0,0)
    2. [pic]
       P[pic]
    3. [pic]
       Q[pic]


3. Характеристики неподвижных точек
   Запишем Якобиан нашей системы
   [pic]

    1. [pic]
    2. [pic]
    3. [pic]



   Проведем  дополнительное  исследование,  обозначив   на   параметрическом
портрете возможные области значений [pic].

   а) точка О – сток, как было показано выше;
   б) точка Р[pic]:
      [pic]
      Область 1:   [pic]
      Область 2:    [pic]
                  Точка Р – исток (неуст. узел)
         Область 3: [pic]
                 Точка Р – седло
       в) точка Q[pic]:
            Область 1: [pic]
            Область 2: [pic]
            Область 3:  [pic]
                          [pic]
                       Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
                         Кроме  того,  при  поиске   собственных   значений
           Якобиана возникает уравнение
      [pic]
            Решение  уравнения  D